Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
Нетрудно проверить, используя четность функции W1(x), что из формулы (6.5) следует формула сложения
WA^W'Ab)+Wr1(U)WAb) =
= W1(U-^lWrAa)+ W'Ab^+W'Aa-^[W^a)-Wx(b)}-
(6.6)
Формула (6.6) справедлива для ЇР-функции Вейерштрасса [172], однако формула (6.5) для нее не справедлива, так как ^-функция Вейерштрасса (1.13) (?' (х) = — ?Р(ж)) не является двоякопериодической. Поэтому при построении мероморфных решений уравнения (5.2) мы используем элементарные функции (6.2), (6.3).
II. Рассмотрим решения уравнения (5.2), имеющие
ВИД
П
и (t, X, у) = - 2Х 2 I1 (Xx - Uj (t, у)). (6.7)
Уравнение (5.2) после подстановки формулы (6.7) и использования уравнения (6.4) и формулы сложения (6.5) преобразуется к виду
п
S (Si (А* - в,-) $Ajv + SW1 (Xx - a:i) (?ajv - Xy) Aj +
3 = 1
+ Wr1(Xx-Uj)Bj) = 0, (6.8)
52 где использованы .обозначения
п
Aj = -a2ajyy + AKi 2 1РІ (? — а„), (6.9)
ft^j
Bj = Wajt — у Akbq + За2IaJv- \2ХЪ 2 IP1 (? — ак) +
V кфі
+ ?(4^gajw + а24,-4^2(2? + ^)^(?-аД (6.10)
V ZiTtJ /
Из уравнения (6.8) следуют 2п уравнений ^l3- = 0, Bi = О, / = 1, ..., п. Эти уравнения после подстановки
a^t, у)=а^, у)+^qt (6.11)
и замены координат
у = -2К2у + 8Я4|I = rKH (6.12)
принимают вид (черту над буквами опускаем)
п
«Чиї/= 2 К(а>-ак), (6.13)
h^j
aH = ^yX'1 ( - 2 («і - в/.)] +
V и фі /
+ 4? [а2а% - 2 (2? + ahy) (aj - ak)j. (6.14)
\ ^TfcJ /
Докажем, что уравнения (6.13), (6.14) являются совместными. Для этого, следуя работам [30, 170, 173], рассмотрим матрицы L и А со следующими компонентами:
L = L1 + P1, Llij = а-1/ (а4 — a,), Pli,- = pAj, A = A1 + A2, Alij = а-1/' (a'i — aj),
п
V-I
А,у = - V 2 («і -а*) 6^ (6-15)
Здесь f(x)— любая из нечетных функций x~l, sm-1a:, sh_1.z; очевидно, что j2 (х) = W1(X). Используя кососимметричность матрицы Li и симметричность матрицы Pi,
получаем
H2 = TrL2 = Tr (P21 + L21) = 2 Ы - CT2JP1 (а4 - aj)),
53 H3 = TrL3 = Tr (p® + SP1L21) = S (p? -
Hi = TrL4 = Tr (Pt + 4P^L2X + 2L1P1L1Pj) =
» . = SW- 4a Wi (®i - ai) - 2a 2PiPft 1 («і - «;»•
І TtJ
Из результатов работ [ЗО, 173] следует, что уравнение Лакса Li = [L, А] эквивалентно гамильтоповой системе с
1 IT
гамильтонианом у п2 и что гамильтоновы потоки с гамильтонианами H2, Hз, Hi коммутируют. Поток с гамиль-тонианом -^H2 совпадает с уравнением (6.13), где время обозначено через у и Pi = aiv. Уравнения (6.14) являются второй частью гамильтоповой системы уравнений (ДЛЯ (Zjf)'
p]t = -dH/dah ан = дIIfdpj, И = 4^1a2H3 + ,Bcc2ZZ4,
которая совместна с уравнениями (6.13) в силу инволто-тивности гамильтонианов H2, Hз, Ні. Это и доказывает совместность системы (6.13) — (6.14).
Система уравнений (6.13) — (6.14) включает в себя при ? = 0 некоторые системы, указанные в работах [6, 7, 20] для уравнения Кадомцева — Петвиашвили, которое является специальным случаем уравнения (5.2) при ? = 0.
При а = 0 и K=O уравнение (5.2) переходит в уравнение (1.16). Это уравнение также имеет решения вида (6.7). Совместная система уравнений (6.13) — (6.14) при а = 0, к = 0 принимает вид
п
= /= 1, ..., п, (6.16)
ьфі
п
ajt = -4? 2 (2ajy + aky) ^1 (а,- - ak). (6.17)
A7
Уравнения (O.16) выделяют непустое подмногообразие прл п = d(d + 1)/2 [170]. Система уравнений (6.17) относится к классу систем гидродинамического типа, изучавшихся в работах [31, 32, 92, 174, 175], и является интегрируемой по крайней мере на инвариантном подмногообразии, определенном условиями (6.16).
54 § 7. Трехмерное интегрируемое уравнение
Укажем трехмерное уравнение для функции v(t, х, у, z), которое включает в себя уравнение взаимодействия волны Римана с длинными волнами
Vt = Avvx + 2 Vxdx1Vy — Vxxy-, (7.1)
оператор L имеет вид
L = — д\ + V(t, х, у, z). (7.2)
Оператор А выберем кососимметрическим: А = GcA1 + ?A2,
A1 = — 2 (dyL + Ldy) — (adx + дха),
A2 = I (dzL2 + Udz)- j (Ьд% + dlb) + cdx + dxc. (7,3)
Из уравнения Лакса L = [L, А] следуют формулы для неопределенных коэффициентов a(t, х, у, z), b(t, х, у, z), c[t, х, у, z):
a = dx1Vv, b = dx1Vzi с = -J^vxz + -^udx1Vz + dxx(vvz).
При выполнении этих соотношений уравнение Лакса с операторами (7.2), (7.3) эквивалентно следующему трехмерному уравнению:
Vt=--а (4Wy + 2Vxdx1Vv — vxxy) +
(311
j VVxz + Y VzVxx + -J VVxxz — V2Vz +
+ ^xx — T VVx) d*lvz ~ T vXd*1 (VVz) ~ їїї Vxxxx*J ¦ (7
Уравнение (7.4) для функций V, не зависящих от переменной z, переходит в уравнение (7.1). Для функций
v(t, х, у, z)=u(t, г), r==x + kiy + k2Z уравнение (7.4) принимает вид
Ut = Otfc1 (6 UUr — Urrr) —
— ?A-3 (IOu3 — 5 (urf — 10 uurr + urrrr)r. (7.5)
Уравнение (7.5) является линейной комбинацией первого и второго уравнений Кортевега — де Фриза.
55 В силу уравнения (7.4) собственные числа f(t, у, z) оператора L (7.2), согласно основной лемме § 2, удовлетворяют уравнению
h = Aaffy - ?/2/z. (7.6)
Решения уравнения (7.6) обладают тем же свойством опрокидывания графика функции f(t, у, г), что и классическая волна Римана.
