Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
относится также к качественным методам линейной алгебры. Эта теорема указывает канонический (простейший) вид матрицы
165
оператора в базисе из собственных векторов, но не дает метода построения этого базиса.
5.1.3. Примеры аналитических методов. Примером аналитических методов являются формулы решения квадратного уравнения х2+рх+ + #х = 0:
*1,2= -р/2±у/{р/2)2-<1 —или формулы Кардано решения кубического уравнения.
Примером аналитических методов решения дифференциальных уравнений является метод разделения переменных. Например, решая этим методом задачу
.4 %=ху2’ -К0)“1»
имеем формулу
у=21(2-х2).
Решение общих линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в виде конечного числа формул может быть получено для систем не выше четвертого порядка (п ^4)
7= Е ед-+/|(4 0<Х4?1, Уе(0) = 0
ах ;.= 1
и только для тех правых частей ^(х), которые интегрируются аналитически с множителями д:техр(>-л:). Это легко понять, если учесть, что для получения формул решения необходимо найти собственные числа матрицы А —ау, т. е. решить алгебраическое уравнение с1е1 (А -* ХЕ) = 0 п-й степени, а это можно сделать в конечном виде только для п ^4. Не следует при этом забывать, что для частных линейных систем может оказаться возможным представить решение конечным числом формул и для п>4.
Однако аналитические методы не ограничиваются рассмотрением алгоритмов с применением конечного числа формул, вводятся бесконечные процессы, предельные переходы, т. е. весь арсенал математического анализа.
Так, например, аналитическим- является метод последовательных приближений Перрона решения рассмотренной выше задачи Коши для системы линейных уравнений
У?+1 (*) = я.7з4*)('?)+/.('5)^*, к = О, 1,
если правые части ^(х) допускают аналитическое интегрирование бесконечное число раз, т. е. известны формулы для интегралов
х х *о * *о я*-1
{/;(я0)*о, 1*0 ?•?1*0 I *1- I /гЫ**-
О 0 0 ООО
166 \
V.,
Например, это могут быть многочлены, тригонометрические функции и т. п. Тогда решение у1 (х) записывается в виде (если существует предел)
3>?(х)=Шпу«(*), (Кх<1.
к—*- оо
Аналитическим методом решения систем линейных уравнений
Ах — Ъ
с определителем йеЬАфО является правило Крамера
где сI—определитель матрицы А;
«1.1 • .. . •• «1,п
</= «2,1 • .. а2^ . •• «2 ,п
«л, 1 „ ап^ .. • «л, л
определитель ^ получается из (I заменой у-го столбца столбцом из свободных членов.
В тех случаях, когда правило Крамера легко применить (п мало), оно дает явное выражение решения системы через коэффициенты'—элементы матрицы А и вектора Ь. При больших значениях п практически оно неприменимо и провести вычисления с его помощью не представляется возможным, так как количество слагаемых в определителях с ростом п растет как п\.
Это один из многочисленных примеров, когда аналитический метод не может быть положен в основу вычислений.
5.1.4. Примеры методов возмущений. Следующая группа методов, названная методами возмущений, занимает промежуточное положение между методами, дающими точное и приближенное решение задач. Хотя методы возмущений относятся к аналитическим методам, они выделяются в особое направление как по большому и разнообразному математическому аппарату, так и тому месту в методах вычислений, которые они занимают.
Фактически методы возмущений представляют собой промежуточное, связующее звено между аналитическими и численными методами.
Термин «возмущение» обусловлен тем, что рассматривается обычно задача 0е, зависящая от малого параметра |е|<е:1 (в может быть вектором), которая является возмущением предельной, невозмущенной (в = 0) задачи и0. Решение задачи С/0 предполагается известным. Методы возмущений дают различные подходы к решению С/е, при этом используется малость параметра возмущения ? и информация о решении предельной задачи С/0.
Приведем пример одного из методов возмущений, широко использующегося в вычислениях. Будем рассматривать невозмущенное уравнение, иллюстрирующее аналитические методы.
167
Пусть требуется решить алгебраическое уравнение иг: гх5+х2+рх+д = 0.
(5.1.1)
где в—малый параметр. Пусть невозмущенное уравнение
Для двух из пяти корней уравнения (5.1.1) можно найти формулы в виде рядов по 8 (рядов возмущений), в пределе при е->0 дающие корни невозмущенного уравнения (5.1.2): д^0), х^\
Метод возмущений сводится к представлению двух корней *1 (е), Х2(е) (5.1)1) в виде рядов
с неизвестными коэффициентами х{(\ х*}\ /=1, 2, .... Подставим
(5.1.3), (5.1.4) в (5.1.1), приравняем коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра 8 и, таким образом, получим выражения для последовательного определения х^\ х%\ Например, при е1 имеем
Эти формулы дают выражения для двух корней (5.1.1) в первом приближении
Можно доказать сходимость рядов (5.1.3), (5.1.4) для достаточно малых значений |е|. Однако формулы для приближений выше первого становятся громоздкими и на практике редко применяются.
Ряды (5.1.3), (5.1.4) определяют аналитическую функцию по 8, а методы возмущений, приводящие к таким рядам, называются регулярными методами возмущений.
