Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Cn(X)- /и t (л — 2т)! 1 ' ' (18)
га=О
IO1 если л—нечетное,
(— l)m (X)ra 0 (19)
--' , т, если п = 2«—четное. 4 '
/»1
IV. Гипергеометрические функции Дифференциальное уравнение (14) можно свести к гинергеомегрическому уравнению. Функция С„(х) является его решением, регулярным в точке X = 1 и принимающим в »той точке значение (3). Кроме того, в случае многочленов Гегенб<н эра соответствующие гипергеометрические ряды допускают квадратичное преобразование, см. п. 2.1.5. Отсюда вытекают следующие представления.
nlCUx)~(2X)nF(-n, п+2Х; b + j; =
- (-1)" (2Х)п P (-л, п +2*; X + j X -Ц^-) _
- 2« (А.)я(*-1)и+ _2я-2?.+IIt-I7)--(2Я)я(і + |-)%(-«, -/.-я+ijx + i;-I^f), (20)
С\т(X) =-(-1)"1F (—т. /и +Л; I; *¦)-
Рт"' Vх* - (21)
ш
Г<
Vi
(к - І)
WmM хРІ 2 2 (2*а — 1). (22)
178' гл. ю. ортогональные многочлены j |10л
Используя эти представления и формулы (13) и (19), получаем:
Dm Cx (х) - 2а (X)m ? (х), т = 1, 2, п, / (23)
D C^1(X) ^ xDCxn (X) - пСх (х), j (24)
О С?+1(х) = х D Cxtt (*)+(«+ 2Х) Cx(X)t (25)
2(л + Х) J Cx(X)dx = Cxn+l (X)-C^1(x)1 (26)
' псхт = ( если л~четное- cm
"v ' \ 2(— l)m(X)m+,/и!, если л= 2/w-fl- нечетное. к '
Второе решение дифференциального уравнения (14) может быть получено с помощью результатов п 10.8 (IV) путем использования связей (4), (6), (21) или (22) между многочленами Гегенбауэра и Якоби. В этом случае отсутствуют общепринятые обозначения или стандартизация.
V. Производящая функция. Из 10.8(29) следует, что
» (х + тИ , і
S (2Х)и 2 (28)
л=0 "
|г I < 1, R=V 1 — 2хг + г*. R = 1 при г = 0. Однако в этом случае есть более простая производящая функция, а именно:
2 С?(х)гл = (1—:2хг + гТХ |*|<1. (29)
я=0
Для доказательства этого равенства иадо положить х = cos Э, записать
правую часть равенства в виде (1—е^г) (1—e~lf>z) , разложить по биному Ньютона и использовать равенство (17). Третьей производящей функцией является
00 — X
S c»wM7=r(x+l)^coie(-fsln9)2" (ЗО)
л=0 " 2
Оиа связана с (29) с помощью преобразования Лапласа.
VI. Интегральные представления. Каждая из производящих функций приводит к представлению многочленов Гегенбауэра в виде коитуриых интегралов. Кроме того, мы имеем вещественные интегралы
п
С» (х) = 2І"Гі[Г((Х)рЯ> JU + ^ri cos^" (з'пф)2*-' d% (31) о
2*r(x+IW Г со$1(я + Х)ф]_ .
Cx (cos9) =-L- - '-(sine)1-2* _ J Ll-X d(f- (32)
VHn\Г (X) J (созф —СО8 0)1
я! Г (X) 0-
справедливые при X > 0. Относительно формулы (31) см. 3.15 (22), а также Seidel и Szasz (1950). Равенство (32) является интегралом Мелера 3.15(23); 10.10) 10.10. МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА 179
существует 4торой интеграл; получаемый путем замены ф и 0 на я — ф н п — В соответственно. Интеграл Мелера связан с функциональным преобразованием, которое преобразует ультрасферические многочлены в степени. VII. Различные результаты. Из связи с функциями Лежандра
» х
(33>
получаем теорему сложения Cn (cos 6 cos ф -j- sin 6 sin ф cos ф) і
л
2 2™ (2Х +2m -1) (я - m) і X
лі=0
X(sin b)mC\tl (соа Є) (sin фГ Cxn+_l (cos ф) Cm 2 (cos Ф). (34)
Соотношения между смежными гипергеометрнческими функциями имеют вид
2Х (1 -JC2) C^11 (X) = (2Х + я - I) (X) - пх Ckn (X) -
= (я + 2A.) де (х)— (я + 1)Сд+1(дс), (35) (я + X)ci;l (JC) = -!) [сп и W -сп-. Wl- (36)
Из равенсіва (11) и линейных преобразований гипергеометрических рядоя в (21) и (22) вытекает формула дифференцирования
(*» - 1)Х+ 2 Dn [(х» - 1)-4 = (- 1)" п і Cj ) -
(37)
принадлежащая Трикоми (Tficomi, 1949). Отметим также интеграл Гегеи-бауэра я
я 1 Jtu cos e Cx (соз Є) (sin в)2*-' d» —
= 2х Уя Г (*. + і) (2\)п і" г~к Jk+n (z) (38) и разложение в тригонометрический ряд
JO
Г (X) Cx (cos Є) - 2 2 iga. ^?+? cos [(я + 2m + 2Я) Є - Хп],
т=0
О < A, < 1, 0< O < я
(Сеге, 1962, стр. 106).
10.10. Многочлены Лежандра
індра Pn (х) являются соответств і, связанными с
— 1, L, W(X)-I, Л *ш 1—jA (1)
Многочлены Лежандра Pn (х) являются соответственно стацдартизиро' ванными мноючлеиами, связанными с ISD гл. 10. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ / (10.10
Эти многочлены называют также сферическими многочленами. Очевидно, они являются частным случаем многочленов Якоби при a = ? = 0, а также
частным случаем многочленов Гегенбауэра при X = I. Многочлены Лежан-
? I
дра и более общне функции Лежандра были уже подробно изучены (см. гл. 3).
I. Стандартизация.
PA D=I. (2)
Следовательно,
Рп(х) = С'гп(х)=Р^(х). (3)
II. Постоянные.
А«в(л+її)~'' = 2^ = yMi., г„ = 0, (4)
Kn = (—2)" /її, (л + 1) Д, = 2л+1. Bn = 0, (л + 1) Cn = — л, (5)
Х,и = л(л+1), ап = 0, ?„= л. (6) KI Формула Родрига.
2я Ш/>„(*) = О" U*2-П"], (7)
P0(jc)»f, Pl(Jt)-*, Pi(X) = ^xi-Lm (8)
Рекуррентная формула:
(л + 1) Ри+1 (Jf) = (2л+ 1) je Pn (jf) -лР„_, (jf). (?
Формула Кристоффеля — Дарбу:
л
2 (2т +1) Pm (JC) Pm (у) = (Ри+, (JC) Pn (у) - Pn (X) Ри+1 (у)]. (10)
т-О
Дифференциальное уравнение:
(1 — Jf2) У* 2*у' л (я 1) у =0. (U)
