Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
OO
J COS (/' + З/ж) dt —
хш
.G «И (—-І + Л +l) rn«0 Ж I ("J +ж + lj
Заменив здесь х на —х и использовав 7.2(2), получаем равенство (40). Относительно обобщения формул (39) и (40) см Ватсон (1949, стр. 348—354).
7,4. Асимптотические выражения
Асимптотическое поведение функций Бесселя различно в зависимости от того что стремится к бесконечности: порядок v, независимое переменное г или обе этн величины вместе Степенные рячы 7 2(2) являются асимптотическими разложениями, если г фиксировано ц v -> оо. Сравнительно легко вывести асимптотическое разложение в случае, когда V фиксировано и г -> х> Если же и v и г велики, то изучение усложняется. 32 ГЛ. Ї. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ ТЕОРИЯ 17 4.1
7.4.1. Случай большого независимого переменного. Мы изучим здесь асимптотическое разложение модифицированной функции Бесселя третьего рода Kv (z). Соответствующие разложения других функций Бесселя могут быть получены с помощью формул 7.2 (16), 7.2 (17), 7.2 (8); результаты указаны в п. 7.13.1.
Будем исходить из интегрального представления 7.3(17)
_ сое'6 ! J_
I)
1 Л
Re V > —lol<"2' O —я < arg* < o + я. Подставив в него биномиальное разложение с остаточным членом
/л=0 \ * /
н используя 1.1 (б), получим
ГТ 'vi r(v+4 +")
(v + l-«)
(1)
- matO
Зя ^ Зя
--2" < arg« <-J-,
где остаточный член выражается формулой (Ai — 1) 1Г (v + — Al) -
- (2z)~ * J * J < 1 - (l + ?р-М av. (2)
и о
Легко видеть, что для любого фиксированного V при Re V > —
Более тщательное рассмотрение выражения (2) показывает, что если v вещественно, Re* > О и Al > v—І- > — 1, то модуль остаточного члена в выражении (1) меньше модуля первого отброшенного члена (т -»Al) (Mac-Robert, 1947, стр 272; Ватсон, 1949, стр. 231). Далее, если v н z вещественны
причем 2лг — Л1 -}- -g- мало по сравнению с г, то остаток приблизительно равен половине отброшенного члена (см. Burnett, 1929). Эйрн (Alrey, 1937) модифицировал выражение (1), получив лучшее приближение, более пригодное для вычислений с высокой точностью. 7.3.7] 7.4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ 33
Используя символ Ганкеля 1.20(3)
2-2 т ml
r(i + v+/n)
(v, т) -^r- «4v»- Iі)... [4v*-(2/n-1)»]} --Ц--Ц-, (3)
ножно записать асимптотическое разложение в более удобной форме:
_ ГЛІ-1
*v(*>-y ^(v, «)(2г)"т+ 0(1«Гм) . (4)
Lm-O
Зя Зя
Поскольку в определение (v, т) входит лишь v1, то ограничение Re v > —-і-
может быть опущено
7.4.2. Случай, когда порядок принимает большие значення. Первое строгое изучение функций Бесселя при больших значениях независимого переменного в порядка было проведено Дебаем (Debye1 1909) с помощью метода наискорейшего спуска. Этот метод основан иа следующих рассмотрениях (Copson, 1935, стр. 330; Ватсон, 1949, стр. 262). Пусть функция F (г) задана в виде
F(z)~ j е~* J^g (a) da, (5)
где С — контур иа комплексной а-плоскости, на концах которого функция g-z / (а) обращается в нуль Во многих случаях можно выбрать контур С так, чтобы он проходил через нуль O0 функции /' (а), причем мнимая часть / (а) постоянна вдоль С. Таким образом, мы имеем /' (а0) =¦ 0 и
Im [/ (а)] — const Im [/ («о)] (6)
вдоль С. Поэтому Re [/ (г)] изменяется наискорейшим образом, когда а пробегает С. При больших значениях г модуль подынтегральной функции имеет острый максимум в точке O0, и поэтому существенный вклад в интеграл (5) вносит лишь часть контура С, лежащая в непосредственной окрестности O0.
Для простоты предположим, что как порядок, так и независимое переменное положительны и пусть
2 ™ JC > О, V — P >0. (7)
Кроме того, предположим, что величина V01 определяемая формулами
shu0-?, ch D0 = "j/"l + - Jj-, V0 > 0, (8)
постоянна, когда р, х оо. Здесь будут изучены лишь Kp (х), соответствующие разложения для других функций Бесселя указаны в п. 7.13.2.
Используя 7.2(15) и выражение Зоммерфельда 7.3(20), непосредственно получаем интегральное представление для Kp (х), имеющее вид (5). Это представление таково:
Kp W=Ij в'* cos Wda -^je-*' wAk (?
2 г. mtmm. iu і»иіі 84
ГЛ. 7. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ- ТЕОРИЯ
.ТА»
где
/(a)-cos а-Ip -J. (10)
В соответствии с результатами п. 7.3.5 коитур С начинается в точке — т] -J- /о®, а оканчивается в точке т] — і со, где и целиком лежит внутри
полосы — т) < Re а < т) комплексной а-плоскости. Условие /' (а) — 0 дает
slna = —-J-= — і sh We. (11)
Это уравнение имеет бесчисленное множество решений
am = — Iv0-f-2пт, т =»0, ±1, ±2,... (12).
Из этих решений лишь а0 лежит внутри полосы — т] < Re а < tj. Следовательно,
a» — /In [*-'(/>+ Kp2+ *»)]--to, аэд
и из (10)
/ (а0) = ch t>0 — Vtt sh Vsr (14)
Условие (6) показывает, что путем наискорейшего спуска является мнимая ось, и из (9) при a — Iv получаем
OO OO
Kp W = I JV*ch dv -1 J * W dv, (15)
—оо —оо
где
g (v) = ch V — V sh V0.
Подстановка
T = ? (v) — ? («а) — ch V — ch w» — (w — v0) sh W0 (16)
отображает плоскость v на плоскость т. Отображение является конформным всюду, за исключением точек wro = wtt-f-2літ, в которых имеет простые нули. Таким образом,
