Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Некоторые конкретные результаты
В гл. 1 решена (восходящая к Н. Н. Лузину) задача о совместности системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ЛОДУ) от одной неизвестной функции. Указанный подход распространен на некоторые системы алгебраических ОДУ.
Введение
15
В гл. 2 предложена новая алгоритмичная процедура построения последовательности линейных уравнений 2-го порядка, интегрируемых в терминах исходного уравнения. Эта процедура используется также для интегрирования заданного уравнения.
Впервые выявлена связь преобразования Куммера-Лиувилля с преобразованием Эйлера - Имшенецкого - Дарбу.
В гл. 3 решены задачи Альфана об эквивалентности и классификации ЛОДУ гг-го (п > 2) порядка (ЛОДУ-гг). Указаны алгоритмы для нахождения инвариантов и канонических форм Альфана.
Решена также задача Альфана о приводимых ЛОДУ-п.
Построены семейства нелинейных уравнений от 2-го до п-го порядков, порожденные приводимыми линейными уравнениями и решения которых выражаются в терминах ЛОДУ-2 (имеют место принципы нелинейной суперпозиции).
В гл. 4 найден самый общий класс нелинейных уравнений п-го порядка, допускающий автономизацию преобразованием Куммера-Лиувилля. Предложен алгоритмичный тест автономизации.
Найдены все законы изменения функционального коэффициента при нелинейном члене обобщенного уравнения Эмдена-Фаулера, когда оно допускает точечные симметрии Ли.
Построены обобщенные уравнения Ермакова и обобщенные динамические системы Ермакова.
В гл. 5. найден общий вид нелинейных неавтономных уравнений гг-го порядка (п > 2), допускающий точную линеаризацию с помощью неточечного преобразования зависимой и независимой переменных.
Проведена точная линеаризация лиувиллевых динамических систем, заданных в лагранжевой форме.
В гл. 6. для различных постановок обобщенной нестационарной задачи небесной механики двух тел (точек), допускающих однопараметрические группы Ли, получены зависимости переменных масс тел от сопротивляющейся и гравитирующей среды. Найдены все законы изменения массы для классической задачи Гильдена-Мещерского, включающие в качестве частных случаев законы Мещерского и Эддингтона-Джинса.
В гл. 7 найдены все инвариантные решения типа «бегущей волны» для уравнений Колмогорова - Петровского -Пискунова и Колмогорова-Петровского-Пискунова-Фишера, полулинейные аналоги которых допускают двумерные алгебры Ли, а также выявлена их связь с уравнениями Семенова и Зельдовича.
Указан новый способ получения автомодельного решения квазилинейного уравнения параболического типа, описывающего т. н. «режим с обострением».
16
Введение
Построен также новый класс нелинейных эволюционных уравнений п-то порядка, допускающий НПС.
Структура работы. В книге семь глав. Каждая глава снабжена примечаниями. Список литературы содержит свыше 400 наименований. Книга снабжена также авторским и предметным указателями.
Во всех параграфах формулы нумеруются последовательно. При ссылке на формулу внутри параграфа указывается лишь ее номер. Если дается ссылка на формулы внутри главы, то указывается также и номер параграфа. А если ссылка на формулу дается в другой главе, то указывается полный адрес формулы. Например, ссылка на формулу (5.10.3) означает, что эта формула содержится в 5-й гл., параграфе 10 и имеет номер 3. Аналогично нумеруются математические предложения и примеры.
То, что многие примечания имеют историко-библиографический характер, может способствовать воссозданию культуры интегрирования дифференциальных уравнений, учитывающей и исторический опыт и современные достижения.
« Часто кажется, что одни и те же идеи родятся у нескольких людей подобно откровению... Если поискать причину этого, то легко найти её в трудах тех, которые им предшествовали, где представлены эти идеи без ведома их авторов». (Эварист Галуа. Сочинения. М.-Л., 1938, с. 111).
Вот только несколько фактов. Был установлен (совместно с Н. X. Розовым) приоритет В. П. Ермакова относительно важного нелинейного уравнения, для которого имеет место принцип нелинейной суперпозиции. Но дело здесь не только в этом факте, айв том, что при этом был открыт важный класс динамических систем, начало которым положил В. П. Ермаков и которые называются сейчас его именем. Известное дифференциальное преобразование для уравнения Штурма-Лиувилля (Шрёдингера) и связываемое с именем Г. Дарбу, на сто лет ранее его рассматривал Л. Эйлер, а одновременно с Г. Дарбу изучал В. Г. Имшенецкий, который приступил к исследованию общего случая для ЛОДУ-гг. Работы классиков могут служить стимулом для современных исследователей. К сожалению, даже тогда, когда классиков почитают, их недостаточно читают. Как отмечалось выше, автор нашел решения фактически забытых задач Г. Альфана об эквивалентности и канонических формах ЛОДУ-гг. Можно согласиться с мыслью А. А. Андронова и Л. И. Мандельштама, что достижение нового нередко происходит исключительно на основе знания старого. В нашей книге немало примеров, подтверждающих эту мысль. Так, например, показано, что классическая теорема П. Л. Чебышева об интегрировании дифференциальных биномов имеет применения при решении некоторых нелинейных ОДУ 2-го порядка, играющих важную роль как в аналитической теории ОДУ, так и в математической и теоретической физике.
