Теория вероятностей и математическая статистика - Баврин И.И.
ISBN 5-06-005322-9
Скачать (прямая ссылка):
При Ziy = O прямые регрессии описываются уравнениями у=Ь; X = а.
98В этом случае Mx(Y) = b= M(Y)\ My(X) = а = M(X). Из формул (3.21) видно, что коэффициенты регрессии имеют тот же знак, что и коэффициент корреляции гху, и связаны соотношением
p(Y/X)p(X/Y) = rx
4. Нормальное распределение двумерной случайной величины.
Определение. Распределение двумерной случайной величины (X, Y) называется нормальным, если ее плотность вероятности определяется выражением:
fix,у)
1 <х - о,)2
2(1-г2,) -I
2KOxOyJl - гх
- "У х - о, у - а2 I
о2 ~ °х Oy J
Нормальное распределение зависит от пяти параметров аи аг, ох, оу и г1W Можно доказать, что а{ и аг — математические ожидания случайных величин X и К, а, и ст,- их средние квадратические отклонения и Txy — коэффициент корреляции этих величин.
Покажем, что если составляющие двумерной нормально распределенной случайной величины некоррелированы, то они и независимы. Действительно, если Xn Y некоррелированы, то /Vv = O и, следовательно,
fix,У) =
U - О] )2 ( У -O1)2
-J-е
(х - а,)2 (у - а2)2
-е 2о> =А(х)Му),
Gx-JTk вх-І2к
отсюда и следует независимость составляющих X и Y (см. § 3.6, следствие).
Справедливо и обратное утверждение.
7*
99Таким образом, понятия «некоррелированные величины» и «независимые величины» для случая нормального распределения равносильны.
Замечание. Опираясь на выражения (3.8) и (3.8'), можно доказать, что если двумерная случайная величина распределена нормально с параметрами аи а2, о„ Oy и Txy, то ее составляющие также распределены нормально с параметрами, соответственно равными аи Ox и а2, оу.
Упражнения
1. Найдите законы распределения составляющих дискретной двумерной случайной величины, заданной законом распределения в виде таблицы
Y Уі
X Xv п
X1 0,12 0,10
Xi 0,18 0,11
XJ 0,10 0,39
X х, Xl X3 Y У\ Уг
P 0,22 0,29 0,49 P 0,40 0,60
2. Найдите вероятность того, что составляющая X двумерной случайной величины примет значение X < і и при этом составляющая Y
примет значение Y < I, если функция распределения величины (X, Y)
F(x,y) = (I arctg Зх + I JfI arctg 2у + I ].
M
3. Найдите вероятность попадания случайно поставленной точки (X, Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми х=0, x="f' У=0, У-'f"> если функция распределения двумерной случайной величины F(x, у) = sin х sin у
0<лг<і, 0<>> <|j.
4. Найдите плотность вероятности f(x, у) двумерной случайной величины по известной функции распределения F(x, у) = (1 - ег*)(\ - егу) (х>0,у>0). lf(x, у) = е-'~у 1
5. Плотность вероятности двумерной случайной величины определяется выражением
И
/(*, у) =
Найдите коэффициент а. IOO
1а(х2+у2), если *2 + у2<1; 0, если X2 + у2 > 1.
M6. Плотность вероятности двумерной случайной величины определяется выражением
f(~X' У) = тс2<16 + х2)(25 + у2) Определите величину С и найдите функцию распределения F(x, у).
С = 20; F(x, у) = [i arctg і + Щ arctg L + ij
7. Плотность вероятности двумерной случайной величины определяется выражением
fix, у)= У---г-•
Найдите плотности распределения составляющих.
Ti(X) = JXe-O,,;
Z2(X) = JIe-2^.
8. Дискретная двумерная случайная величина задана таблицей
Y
X У< Я
Xl 0,15 0,05
X2 0,30 0,12
X) 0,35 0,03
Найдите: а) условный закон распределения составляющей X при условии, что составляющая У приняла значение уі; б) условный закон распределения составляющей Y при условии, что составляющая X приняла значение X2.
а) X Xi X2 X3 б) Y у, у2
. p^ Гв ! Гв рf I
9. В условиях, изложенных в упражнении 7, найдите условные законы распределения вероятностей составляющих.
"ф,(*| у) = ^Le-**' +у*, '
Vx(y\x) =J^e-W*+W2.
10. Плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины ІХ, Y) задана выражением
12 cos X cos V в квадрате 0 < у <
I
0 вне квадрата S. Докажите, что составляющие X и Y независимы.
10111. Дана таблица, определяющая закон распределения двумерной дискретной случайной величины
Y X 20 40 60
10 3 20 1 20 0
20 1 1 і
10 5 10
30 1 1 1
20 10 4
Найдите коэффициент корреляции гху. [rw = 0,56]
12. Задана плотность вероятности непрерывной двумерной случайной величины
1-7 sin X sin у в квадрате S (о < х < тс, 0 < у < тс},
4 F1 j
О вне квадрата S
НаЙДИТе КОрреЛЯЦИОННЫЙ МОМеНТ Hxy И Коэффициент КОрреЛЯЦИИ Гху.
[VLxy = 0, Гху = 0]ГЛАВА IV
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
§ 4.1. Генеральная совокупность и выборка
Приступим к изучению элементов математической статистики, в которой разрабатываются научно обоснованные методы сбора статистических данных и их обработки.
1. Генеральная совокупность и выборка. Пусть требуется изучить множество однородных объектов (это множество называют статистической совокупностью) относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить соответствие детали стандартам, а количественным — контролируемый размер детали.