Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 3 — прямое следствие леммы 1.
3 а м ел а н и е. На каждом многообразии имеется единственная n-мерная орбита действия тора. Построенное отображение устанавливает изоморфизм этих орбит.
Теорема 1 (см. [168]). Пусть заданы два простых веера, и первый веер вписан во второй. Рассмотрим ассоциированные с веерами многообразия и построенное выше отображение первого многообразия во второе. Утверждается, что, если объединение конусов первого веера содержит объединение конусов второго веера, то это отображение — собственное. Об ратное ^тоже справедливо.
Следствие. В условиях теоремы первое многообразие отображается на второе многообразие.
Действительно, отображение собственное и обратимо на всюду плотном множестве.
Прямая теорема следует из леммы 4. Обратная аналогична.
Лемма 4. Пусть в одной из карт второго многообразия задана кривая вида Xj(t) = tmJ (dj + 0 (t)), m-^ 0, / = 1, ..., п, где числа dlt ..., dn не равны нулю. Тогда существует карта первого многообразия, в которой прообраз кривой имеет конечный предел при t —>- 0.
Доказательство аналогично доказательству леммы 2. Нам надо подобрать карту первого многообразия и кривую в этой карте вида Xj (t) = tkf (Cj -f- О (t)), J==It ..., п, где числа C1, ... . . ., сп не равны нулю, образ которой совпадал бы с нашей кривой. Ограничимся указанием того, какую именно карту надо взять. Рассмотрим базис, образованный скелетом конуса, отвечаю- 178
!ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. II
щего карте второго многообразия. Рассмотрим линейную комбинацию-этого базиса с неотрицательными коэффициентами тг, ... ..., тп. В результате получится вектор, принадлежащий конусу. По условию найдется n-мерный конус первого веера, который содержит этот вектор, п-мерному конусу первого веера соответствует карта первого многообразия. В этой карте прообраз нашей кривой имеет конечный предел. Проверку этого факта оставляем читателю.
Е. Важный пример. Рассмотрим два простых веера. Предположим, что второй веер состоит из одного rt-мерного конуса и его граней. Предположим, что объединение конусов первого веера совпадает с n-мерным конусом, порождающим второй веер. Согласно конструкции пункта В с каждым веером ассоциировано многообразие. Многообразие, ассоциированное со вторым веером, состоит из одной карты и изоморфно IR". Согласно конструкции пункта Д имеется собственное аналитическое отображение многообразия, ассоциированного с первым веером, на многообразие, ассоциированное со вторым веером, т. е. на IR". Это отображение обратимо вне объединения координатных гиперплоскостей.
Этот пример будет использован в п. 8.2 для построения разрешения особенностей.
Задача. Пусть га=2 и в качестве первого веера взят веер, изображенный на рис. 68. Докажите, что отображение на IR2 многообразия, ассоциированного с первым веером, совпадает с сг-процессом в начале координат.
Ж- Комплексный аналог. Конструкции многообразия и отображения многообразий, изложенные в этом пункте, имеют естественный комплексно-аналитический аналог. Вместо карт, изоморфных IR", надо брать карты, изоморфные С", и все отображения задавать теми же формулами. Видоизмененные конструкции будут приводить к комплексно-аналитическим многообразиям и их комплексно-аналитическим отображениям. Построенные таким образом комплексные многообразия имеют естественные вещественные части. Вещественные части являются вещественными многообразиями и совпадают с многообразиями, построенными в этом пункте. Комплексно-аналитические отображения сохраняют вещественные части. Ограничения комплексно-аналитических отображений на вещественные части совпадают с отображениями, построенными в этом пункте.
8.2. Разрешение особенностей.
А. Веер, ассоциированный с многогранником Ньютона. Рассмотрим многогранник Ньютона, т. е. выпуклый многогранник в IR" с вершинами в точках с неотрицательными целыми координатами, который вместе с каждой точкой содержит положительный октант, параллельно перенесенный в эту точку (см. п. 6.2.А). Обозначим многогранник через Г. §8] АСИМПТОТИКИ И МНОГОГРАННИКИ НЬЮТОНА
179
Опорной функцией многогранника Ньютона называется функция на положительном октанте пространства, сопряженного с IR". Ее значение на ковекторе а положительного октанта полагается равным min<a, k>. Опорная функция обозначается через Ir-
ЙЄГ
Следом на многограннике Ньютона ковектора а положительного октанта называется грань многогранника, выделенная условием -{&бГ|<а, ky = It (а)}. Совместным следом ковекторов положительного октанта называется пересечение их следов.
Два ковектора положительного октанта называются эквивалентными относительно многогранника Ньютона, если совпадают их следы.
Лемма 5. Замыкание любого класса эквивалентности является рациональным конусом в пространстве, сопряженном с Rra. Более. того, совокупность всех таких конусов образует веер.
Доказательство легко следует из определения опорной функции; подробнее см. в [107].
Веер, образованный замыканиями классов эквивалентности, называется беером, ассоциированным с многогранником Ньютона. Объединение конусов, составляющих этот веер, совпадает с положительным октантом пространства, сопряженного с Rn.
