Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПИКАРА — ЛЕФШЕЦА
13
t„-Vary, где i„: H*(F2JН, (F2o, dFJ—естественный гомоморфизм, индуцированный включением F2o<l^ (F2a, dF2J. Если класс петли у в фундаментальной группе Jt1 (U — {z(-}, Z0) дополнения к множеству критических значений равен произведению Y1 Y2 классов Y1 и Y2, то varv = varVi + varVa + varVi -t,-varVi, = hy,* ¦ , hy?*. Поэтому соответствие Y является (антигомо-
морфизмом фундаментальной группы (U — {z,}, Z0) дополнения к множеству критических значений в группу Aut Н, (F2o) автоморфизмов группы Н№ (F2J гомологий неособого множества уровня.
Будем обозначать через (aob) индекс пересечения циклов (или классов гомологий) а и Ъ. Это обозначение будет использоваться как в случае, когда оба цикла а и Ь абсолютные, так и в случае, когда один из них относительный. Напомним, что многообразие уровня F2o является комплексным многообразием и поэтому обладает выделенной ориентацией, которая и определяет индекс пересечения циклов на нем.
Лемма 1. Пусть a, b?H№(F2o, dFzJ—относительные классы гомологий, dima + dimb = 2n—2, y^nt(U — {z;}, z0). Тогда (varv ao varv b) + (ao varv b) + (varv aob) = 0.
Доказательство. Выберем относительные циклы, являющиеся представителями классов гомологий а и Ь, так, чтобы их границы (лежащие на краю dF2o многообразия уровня F2J не пересекались. Это можно сделать по соображениям размерности (dim да + dim db = 2n—4 < 2п—3 = dim dFzJ. Выбранные циклы мы также будем обозначать через а и Ь. Для таких циклов имеет смысл их индекс пересечения, не являющийся, конечно, инвариантом их классов в группе гомологий И, (F2o, dFzJ. Имеем:
varva = /iva—a, varv6 = Av6—b,
(varv ao varv6) -f- (varvao6) 4- (aovarv b) =
= (hyaohy b)—(aohyb)—(hyaob)-\-(aob)-\-
+ (hyaob)—(aob)(aohyb)—(aob) = 0,
так как (hyaohyb) = (aob).
Следствие. Для a, b ? Hjf (FZo, dF2o)
(hylao varv b) + (varv aob) = 0.
Доказательство. (A^Jaovarv ?>) 4- (varvao?>) = (ts varvao ovarvb)4-(a°varvft)4-(varvaob) = 0, так как h(yl = id + i'«-varv, (i«¦ varv ao varv b) = (varv ao varv b).
1.2. Исчезающие циклы и группа монодромии. Предположим теперь, что все критические точки Pi функции f невырожденны (т. е. det (d2f/dxjdxk) Ф 0), а все критические значения Zi=^f(Pi) различны (t = 1, ..., (х). Напомним, что в этом случае функция / называется морсовской. 14
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ
[ГЛ. i
Определение. Группой монодромии (морсовской) функции / называется образ гомоморфизма фундаментальной группы Лt(U— {Z;}, z0) дополнения к множеству критических значений в группу Aut Я* (Fzo) автоморфизмов группы Я, (Fzo) гомологий неособого множества уровня F2o, сопоставляющего петле у оператор монодромии /iv»: Hif (Fzo)—* Hst (F2o).
Пусть в области ?/ задан путь и: [0, 1]—соединяющий некоторое критическое значение Zi с некритическим значением Z0 (U(O) = Zi, U(I) = Z0) и не проходящий через критические значения функции / при t 0. По лемме Морса в окрестности невырожденной критической точки Pi на многообразии Mn существует локальная система координат X1, хп, в которой функ-
п
ция f записывается в виде f(xt, .. ., Xn) = Zi+ ^У х]. Для значе-
/= і
ния параметра t, близкого к нулю, зафиксируем в многообразии уровня Faiu сферу S (t) = Vrи W-ZrSn-1, где S""1= {(xlt . . ., хп): 2 Я/-=!» I m Xy = 0}—стандартная единичная (п—1)-мерная сфера.
Поднятие гомотопии t от нуля до единицы определяет семейство (/г— 1)-мёрных сфер S(t)cFalt) в многообразиях уровня Fa (и для всех t?( 0, 1]. Заметим, что при ^ = O сфера S (t) вырождается в критическую точку Pi.
Определение. Класс гомологий А Є H^1(F2a), представленный (п—1)-мерной сферой S(I) в выделенном неособом многообразии уровня F2o, называется исчезающим (вдоль пути и) циклом Пикара—Лефшеца.
Легко видеть, что гомотопический класс пути и в классе путей в области U, соединяющих критическое значение Zi с некритическим значением Z0 и не проходящих через критические значения функции / при t =^= 0, определяет класс гомологий исчезающего цикла А с точностью до ориентации.
Определение. Набор циклов Ai, ...,Am. из группы Нп_1 (Fzo) (п—1)-мерных гомологий неособого множества уровня F2q называется отмеченным, если:
1° цикл Ai (i = 1, . . ., ji) является исчезающим вдоль несамо-пересекающегося пути Ui, соединяющего критическое значение Z1 с некритическим значением Z0, ' 2° пути Ui и Uy при і ^= j имеют единственную общую точку
M1-(I) = Uj (I) = Z0-,
3° пути U1, ..., Ull занумерованы в том порядке, в котором они входят в точку Z0, считая по часовой стрелке, начиная от границы dU области U (см. рис. 10).
Замечание. Выбор некритического значения Z0 на границе dU области U диктовался необходимостью перенумерации элементов отмеченного набора исчезающих циклов в соответствии с условием 3°. §1] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПИКАРА — ЛЕФШЕЦА
15
Примеры. 1) Рассмотрим морсовскую функцию /(х) = х3 —
_ЗХх, где Я—малое положительное число. Эта функция является
шевелением функции /о (х) =ar х3 (имеющей особенность типа A2 в смысле ОД0-1), но сейчас это нам_ не понадобится. Функция / имеет две критические точки (X = IzrX) и х= — V~X)c критическими значениями Z1 =— 2Х]/~X и z2 = 2Xpr X соответственно. В качестве некритического значения функции f возьмем Z0 = O. Соединим
