Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
2) f{x, у) = х{хк~г—уг), особенность Dk, kZSs 4. Ее кратность равна k. Нетрудно подобрать шевеление f функции /, нулевая линия уровня которого (при & = 9) изображена на рис. 35 (для § 43
матрицы пересечений особенностей
101
этого можно взять шевеление функции Xk ~2 — уа, подобное описанному в предыдущем примере, и умножить его на (х—2Л2)). Ее D-диаграмма является классической диаграммой Dk.
3) f (X, у) = х3 + ху3 = X (х2 + у3), особенность E1. Шевелением, удовлетворяющим условиям теоремы 1, является f(x, у) = = (х + Я3/2/3) (х2 + г/3—Vy—2Х3/3 Кривая {/ = 0} и ее D-диаграмма приведены на рис. 36.
Недостатком теоремы 1 является то, что обычно бывает сложно подобрать шевеление /, удовлетворяющее ее условиям. Кроме того,
оосХ
Рис. 35.
Рис. 36.
диаграммы таких особенностей, как, например, E6 (х3 + у4-), E7 и ?8(*s + ^5). при наиболее естественных выборах шевелений получаются отличными от их классических форм и требуют преобразования. Оказывается, что проще бывает построить не шевеление функции, а шевеление ее нулевой линии уровня. Описание соответствующей процедуры будет дано в следующих пунктах. Сформулированный ниже результат позволяет в некоторой степени устранить второй из названных недостатков.
Пусть кривая I такая же, как и раньше. Если отвлечься от самопересечений, то кривая I состоит из нескольких окружностей и интервалов. Это означает, что существует собственное невырожденное отображение х: L —*- D одномерного гладкого многообразия L в круг D такое, что Imx = ^ и X отображает L на I взаимно однозначно вне особых точек кривой I (самопересечений). Пусть xt: L—> D (^€[0, 1])—гомотопия отображения % (х-Xo) в классе собственных невырожденных отображений, постоянных на прообразе окрестности границы круга D. Если Xt—гомотопия общего вида, то тип кривой Im Xt (как одномерного гладкого под- 96
топологическое строение
[гл. j1
многообразия круга D с простыми самопересечениями) будет меняться при конечном числе значений параметра і. При этих значениях параметра t будет происходить одна из трех типов перестроек: 1) сливаются и исчезают две точки самопересечения кривой IniXf (рис. 37, при исключительном значении параметра происходит простое касание двух ветвей кривой Im х*); 2) появляются
t
Рис. 37.
две новые точки самопересечения (этот тип перестройки переходит в предыдущий при смене направления изменения параметра /); 3) сливаются и расходятся три точки самопересечения кривой Im %t (рис. 38, при исключительном значении параметра на кривой Im Xt возникает точка тройного пересечения). Другие типы перестроек коразмерности один отсутствуют в связи с тем, что на отображение Xi наложено условие невырожденности (необращение
Рис. 38.
в нуль его дифференциала). При первых двух типах перестроек не сохраняется общее число точек самопересечения кривой Im %t, и поэтому меняется размерность целочисленной решетки, сопоставляемой ей. При перестройках третьего типа размерность решетки сохраняется. Оказывается, что если все перестройки кривой Im Xt относятся к третьему типу, то не меняется и билинейная форма, соответствующая кривой Im Xt- Происходит только замена базиса в решетке, на которой она определена.
Определение. Гомотопия %t называется допустимой, если ни для какого значения параметра ^€[0, 1] не существует точек Zi1=^Zi2 из L, для которых Xt (ftJ = Xt (Zi2) > InidXt(Zii)= Imdxt (Zi2) (d%t—дифференциал отображения Xt) и» кроме того, кривая Im Xi имеет только простые двойные самопересечения.
Можно показать, что допустимая гомотопия—это гомотопия, при которой все перестройки кривой Im Xt относятся к третьему типу (и t = 1 не является исключительным значением параметра, т. е. при нем не происходит перестройки кривой). Если Xt—допустимая [гомотопия, то ^кривые Imx0 = Z и Imx1 имеют одно и то же количество самопересечений (а также одно и то же коли- § 43
матрицы пересечений особенностей
101
чество компонент дополнения). Поэтому целочисленные решетки, соответствующие этим кривым, имеют одинаковую размерность.
Теорема 2. Пусть ул\ L —>-D—допустимая гомотопия. Тогда симметрическая и кососимметрическая билинейные формы, соответствующие кривой Im X1, получаются из форм, соответствующих кривой Im X0 = I, при помощи операций замены отмеченного базиса.
Для доказательства можно явно указать замену базиса, которая соответствует одной перестройке кривой Im Xt третьего типа. При этом преобразуются только четыре исчезающих цикла, соответствующие трем точкам самопересечения кривой Im Xu которые сливаются при этой перестройке, и криволинейному^треугольнику с вершинами в этих точках—компоненте связности дополнения кривой Im^t. Явный вид такой замены базиса может быть получен для одного примера, в котором соответствующая гомотопия Xt может быть реализована деформацией шевеления f особенности (например, для ft(x, t) = х-у (х-\-у + t)\ исключительное значение параметра / = 0). Наборы путей, определяющие отмеченные базисы в этом случае, описаны перед формулировкой теоремы 1. Выход параметра t в комплексную область и полуобход исключительного значения / = O позволяет проследить за преобразованием соответствующей системы путей.
