Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Комбинируя а) с б), в) получаем
Следствие. 1. Спектр критической точки расположен симметрично относительно точки п/2—1.
2. Комплексный показатель особости (см. п. 13.1.Д) неотрицателен.
Действительно, комплексный показатель особости равен п/2—¦ — (1 +OCrain), где ат1а—наименьшее спектральное число.
Отметим следующее свойство спектра. Если спектр критической точки сосредоточен в точке п/2—1, т. е. состоит из нескольких чисел п/2—1, то критическая точка невырождена и спектр состоит из одного числа п/2—1. Это свойство — прямое следствие теоремы 3.7 о следе оператора монодромии.
Г. Спектр и многогранник Ньютона. Спектр можно выразить через геометрию многогранника Ньютона ряда Тейлора критической точки, если главная часть ряда Тейлора С-невырожде-на. В работах [221, 7, 56] приведены формулы, выражающие спектр через распределения точек с целыми координатами в конусах, связанных с гранями многогранника Ньютона. Эти формулы доказаны для п=2 [221] и для случая «простого» многогранника Ньютона [56]. В общем случае имеется метод вычисления спектра через многогранник Ньютона, не доведенный до формул [56].
Выразим спектр через многогранник Ньютона для п=2. Для п=2 спектр симметричен относительно точки 0 и лежит в интервале (—1, 1), поэтому достаточно описать часть спектра, принадлежащую интервалу (—1, 0]. Согласно п. А для описания этой части спектра достаточно указать формы неотрицательных порядков, главные части которых порождают базис сечений расслоения F1 (/*), и вычислить порядки указанных форм.
Рассмотрим многогранник Ньютона ряда Тейлора критической точки ростка f: (С", 0)—>-(С, 0). Назовем одночлен хт поддиа-граммным, если вектор дп + (1, ..., 1) не принадлежит внутренности многогранника Ньютона.
Пример. Пусть f = xl + xlxl + xt. На рис. 81 изображены векторы m + (l, 1) для поддиаграммных одночленов хт.
Каждому поддиаграммному одночлену поставим в соответствие форму XmClXl Д . . . Adxn, которую назовем поддиаграммной. Предположим, что главная часть ряда Тейлора критической точки
Ю В. И. Арнольд и др. 274 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ. ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ. ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
ростка f С-невырождена. Тогда порядок каждой поддиаграммной формы неположителен и вычисляется по степени одночлена с помощью теоремы 2 (порядок равен удаленности многогранников ростка f и формы).
В примере порядки поддиаграммных форм равны —3/5, —5/12, —3/12, —1/12, —2/5, —1/5, —1/5, 0, 0, 0.
Теорема 4 (см. [22]). Если главная часть ряда Тейлора критической точки ростка f: (С", 0)—> (С, 0) С-невырождена, то
главные части поддиаграммных форм образуют базис сечений расслоения Fn~l(f*).
Следствие. Порядки поддиаграммных форм составляют часть спектра критической точки ростка f, принадлежащую интервалу (—1, 0]. В частности, для п = 2 порядки поддиаграммных форм полностью определяют спектр.
Замечания. 1. Для я = 2 для описания спектра удобно отмечать не только показатели поддиаграммных одночленов, но и показатели симметричных наддиаграммных одночленов. Удаленности пар многогранников ростка f (с С-невырожденной главной частью) и выделенных одночленов составляют спектр критической точки ростка f. См. рис. 82, где изображены сдвинутые на (1,!,1) показатели поддиаграммных и выделенных наддиаграммных одночленов для
f = X2 -f- X1X2 X1X2 —f- X1^.
2. Следствие теоремы 4 достаточно для описания спектра и при п=3. Часть спектра, принадлежащая полуинтервалу (—1, 0], дается следствием. Часть спектра, принадлежащая полуинтервалу [1, 2), определяется симметрией спектра относительно числа 1/2. Оставшаяся часть спектра принадлежит интервалу (0, 1). Каждое спектральное число — это деленный на 2яі логарифм собственного числа оператора монодромии. Чтобы описать часть спектра из (0, 1), нужно вычислить по многограннику Ньютона все собственные числа оператора монодромии (см. теорему 3.13 из § 3, [231]), отметить те собственные числа, для которых соответствующие спектральные числа принадлежат объединению (—1, Ol U И, 2), взять такие ветви логарифмов оставшихся собственных чисел, которые после деления на 2яг попадают в (0, 1). Эти деленные на 2яг логарифмы образуют оставшуюся часть спектра.
Доказательство теоремы. Главные части поддиаграммных форм линейно независимы, поскольку по теореме 2 поря- § 13] коэффициенты разложений в ряд интегралов 275
док линейной комбинации поддиаграммных форм равен минимуму порядков слагаемых. Главные части поддиаграммных форм образуют базис сечений расслоения F'1'1 (f*), поскольку по теореме 2 порядок наддиаграммной формы положителен.
Опишем спектр конечнократной критической точки ростка f: (О, 0) —>- (С, 0) квазиоднородной функции. Пусть f имеет тип (?, ..., а„) и вес 1. Пусть {хт\т? 1}—набор одночленов, проектирующихся в базис над С локальной алгебры С \x\/(df/dx). Для показателя т ? / положим
I (т) = ^1 +1)0.-,+ . .. +(тп + 1)а„ —1.
Теорема 5 ([219], см. также [22]). Числа l(m), I, составляют спектр критической точки ростка f квазиоднородной функции.
Согласно [22] спектр критической точки ростка полуквазиодно-родной функции совпадает со спектром критической точки ростка соответствующей квазиоднородной функции.
