Коды и математика (рассказы о кодировании) - Аршинов М.Н.
Скачать (прямая ссылка):
В заключение подчеркнем, что если в теории n-мерного арифметического пространства вместо действительных чисел (т. е. элементов
,132 поля действительных чисел) рассматривать элементы произвольного поля F, то все определения и факты, приведенные выше, сохранили Сы силу.
В теории кодирования важную роль играет случай, когда поле F есть поле вычетов hp, которое, как мы знаем, конечно. В этом случае соответствующее n-мерное пространство также конечно и содержит, как нетрудно видеть, р" элементов.
Понятие пространства, как и понятия группы и кольца, допускает также и аксиоматическое определение. За подробностями мы отсылаем читателя к любому курсу линейной алгебры.
5. Алгебра матриц
Большую роль в линейной алгебре и многих других областях математики играют так называемые матрицы.
Под матрицей понимают прямоугольную таблицу вида
O12
022 (1)
<ат1 ат2
где буквы обозначают некоторые элементы. Эти обозначения содержат два индекса, первый из которых указывает номер строки, а второй — номер столбца, на пересечении которых находится соответствующий элемент. Про матрицу, у которой т строк и п столбцов, говорят, что она имеет порядок тХп. В случае, когда число строк и столбцов одинаково (т=п), матрица называется квадратной порядка п.
Если т= 1, то матрицу можно понимать как вектор, координаты которого записаны в строку; ее тогда так и называют вектор-строка. Точно так же в случае одностолбцовой матрицы пользуются термином ее кто р-столбец. Иногда матрицу обозначают одной буквой (А, В и т. д.), а вместо (1) часто используется сокращенное обозначение (в,-у).
Если в исходной матрице А строки и столбцы поменять ролями, то получим матрицу, называемую транспонированной к А (обозначается At ). Матрица, транспонированная к матрице (1), имеет вид:
^li Й2Ї -Omi^ C12 022 • • -ат2
^ йщ а2п
Для матриц с действительными элементами определяются операции сложения матриц и умножения матрицы на число, аналогичные операциям над векторами, а именно, для любых двух матриц порядка тХп
0H ••• 0Jn^^ 611 iln^ ( 0l1+ bli ain+binN
vO„
LJjct1
( bи ••• 6ln\ / O11+ ЬЦ ... aln-f bin\
\bmi ... bmnJ \ami + imi і.. amn+'bmnJ
,133 и для любой матрицы и любого числа а
ац ... а1п
a j
\ami ...а,
\ ^ а ац ... Ctain^
J \aami ,.. aamnJ
Определение этих операций выглядит вполне естественно. Иначе обстоит дело с довольно своеобразной операцией умножения матриц. Рассмотрим сначала умножение квадратных матриц одного порядка п. Если
А = (аи) и В = (Ьи) — две таких матрицы, то их произведением
C = A-B = (C0)
называется квадратная матрица порядка п, произвольный элемент которой вычисляется по правилу:
CiJ = Bnbi/ + а;2Ь2/+ ... +ainbn). (2)
Иначе говоря, чтобы получить элемент і-й строки и /-го столбца матрицы C=A'В, нужно взять сумму произведений элементов 1-Й строки матрицы А на соответствующие элементы ;'-го столбца матрицы В. Например,
1 2W 2 0\_/ 0 2\
О \) \)-{-i 1 )¦
Умножение матриц некоммутативно, т.е., вообще говоря, А-ВФВ-А. Так, перемножив две предыдущие матрицы в обратном порядке, получим иную матрицу:
(-??)• (JfM-U)-
Вместе с тем, нетрудно доказать, что умножение матриц ассоциативно: (A-B)-C=A-(B-C).
Особую роль (подобную числовой единице) играет так называемая единичная матрица
/I 0 Os
\0 О 1,
Действительно, из формулы (2) следует, что
EA=AE=A для любой квадратной матрицы А. 134 Можно убедиться, что множество всех квадратных матриц заданного порядка образует относительно введенных операций сложения и умножения (некоммутативное) кольцо.
Правило умножения матриц можно распространить и на прямоугольные матрицы, не являющиеся квадратными. Формула (2) позволяет это сделать, если число столбцов первой матрицы А совпадает с числом строк матрицы В. Например,
При этом получающаяся матрица имеет столько же строк, сколько первый сомножитель, и столько же столбцов, сколько второй. Пользуясь операциями над матрицами, мы получаем возможность записывать произвольные системы уравнений в краткой матричной форме. Действительно, пусть матрица
O11 ' • Oin
021 O2 2 •• ¦¦ а2п
аИ2 •• • атп
А =
\
составлена из коэффициентов при неизвестных системы (1) приложения 4 (в этом случае она называется матрицей системы). Рассмотрим векторы-столбцы неизвестных и свободных членов, обозначая их соответственно через X и Ь:
Тогда произведение Ax есть матрица с т строками и одним столбцом* т. е. вектор-столбец, элементы которого вычисляются согласно формуле (2). Таким образом,
f ОіЛ + 012*2 + • • • + аыхп '
/ 021*1 + 02 2*2 + • • • + а2пхгі
aml*i + om2*2 + • • • JTamnxn
Каждое из уравнений системы (1) означает равенство соответствующих координат вектора Ax и вектора 6, и вся система в целом означает тогда равенство
Ах=Ь.
,135 Полученная краткая запись и есть матричная форма системы линейных уравнений. Подобная матричная запись встречается во множестве других ситуаций, и она широко используется в математической,- физической и технической литературе.
