Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Op(f)
Opu
рицательные операторы.
Определение 4.6.5. Пусть Eun(O , U) -образ характеристической функ-[0 , O ] O pu
Eun(O,U ) = Opu (I([0 ,0] \ •)), (4.172)
что эквивалентно равенству
Vф Є H : <ф, Eun(0 , U)ф >= 1([0 ,0] \ x)?^ \ dx). (4.173)
o
Справедлива
Теорема 4.6.2. Каждому унитарному оператору U Є L(H — H) со-
Eun( O , U)
обладает следующими свойствами.
1. Для, любого 0 Є [0 , 2п] Eun( O , U)
ектор:
V(O Є [0 , 2п]): EUn(0 , U)2 = Eun(0 , U). (4.174)
2. Операторная, функция, 0 — Eun(0 , U) монотонно неубывает:
(02 > O1) (E(U,02) > E(U,0)) O
Є H,0 Є [0 2п)) : < ф , Eun(0 + 0 ,U)ф >=< ф , Eun(0 ,U)ф> , Eun(2n , U) = id.
331
3. Справедливо равенство
V(Oi,02 Є [0 , 2п]) : Eun(9 , U)Eun(9 , U) = Eun(min(0i , O2) , U). (4.175) J1.. Если
(Ol , 02] П(03 , = 0
mo
(Eu„(02 , U) - Eun(0i, U)) • (Eu„(O4 , U) - Eu„(03 , U)) = 0. 5. Если f (exp(iO)) Є C([0 , 2п]), то справедливо равенство
Є H) : <ф, f (U )ф >= f (exp(i0))de < ф , Eun(0 ,U )ф>,
Jo
(4.176)
где интеграл понимается как интеграл Лебега-Стильтьеса по мере ц(ф | dO).
Доказательство теоремы 4.6.2 дословно повторяет доказательство теоремы 4.5.2.
4.7 Гильбертово сопряжение неограниченных операторов.
Мы будем рассматривать только такие линейные операторы, которые имеют плотную в H область определения. Пусть Dom(A) плотное в гиль-
H
Cl(Dom(A)) = H, (4.177)
и пусть
A : Dom(A) і-» H
-линейное отображение многообразия Dom(A) в гильбертово простран-H
Типичный пример: пусть H = L2 (R1 , dx) , P(x) -полином с действительными коэффициентами и
V(f Є Co(R1) С H) : Af (x) = P(x)f (x).
Определение 4.7.1. Элемент y Є Dom(A К если заданный на плотном H Dom(A)
Dom(A) э x —< y, Ax > (4.178)
332
H
мы полагаем
A*y = z,
z
нал (4.178):
V(x Є Dom(A)) : < z, x >=< A*y , x >=< y , Ax > . (4.179)
A
A
A
данным определением гильбертово сопряженного оператора.
Если оператор ограничен, то область определения сопряженного оператора есть все пространство. Если оператор неограничен, то может случиться так, что область определения сопряженного оператора со-
H=
L2(R1, dx) , {en(x)} -полная ортонормированная система в L2(R1, dx), Dom(A) = C0^(R1) , V(/ Є Dom(A)) : A/(x) = J] /(n)en(x).
1<n<oo
(4.180)
Функционал
C^(R1) э / b<g,A/>= J] /(n) <g,en >
1<n<oo
продолжается до линейного непрерывного функционала на L2 (R1, dx) только в том случае, если
Vn : < g , en >=0.
Отсюда следует, что Dom(A*) = 0.
Отмтим, что оператор (4.180) есть пример оператора, не имеющего замыкания: замыкание графика оператора (4.180) есть пространство L2(R1, dx) ф L2(R1, dx), которое не есть график оператора.
Можно дать эквивалентное определение гильбертово сопряженного оператора.
В прямой сумме гильбертовых пространств H ф H определим оператор
V : H ф H ь H ф H,V (/ ф g) = (-g) Ф /. (4.181)
Оператор V унитарен и удовлетворяет равенству
V2 = - id.
333
Теорема 4.7.1. Справедливо равенство
Gr(A*) = (VGr(A))
(4.182)
Доказательство. Мы имеем:
Gr(A) = {x 0 Ax \ x Є Dom(A)},
V(Gr(A)) = {(-Ax) 0 x \ x Є Dom(A)},
(V (Gr(A)))± = {y 0 z \ (y, Ax) = (z,x) ,x Є Dom(A)}, (4.183)
(V (Gr(A)))1 p\ (0 0 H ) = {0 0 z \ (z,x) = 0 ,x Є Dom(A)} (4.184)
Так как множество Dom(A) плотно в H, то из (4.184) следует, что
поэтому множество (V(Gr(A)))1- есть график оператора, из (4.183) сле-
A*
Равенство (4.182) может служить определением гильбертово сопряженного оператора. Так как ортогональное дополнение к любому множеству замкнуто, то из теоремы 4.7.1 вытекает
A*
A
A*
дует теорема Хеллингера-Теплица.
Теорема 4.7.2. Если оператор A определен во всем пространстве: Dom(A) = H и самосоряжен: A = A*, то опера тор A ограничен: A Є L(H — H).
Напомним, что замкнутый оператор -это такой оператор, график которого замкнут. Из замкнутости оператора не следует ни замкнутость его области определения, ни замкнутость его области значений. Напом-
A
(V (Gr(A)))1 fl (0 0 H ) = 0
H = V(Gr(A)) 0 Gr(A*).
(4.185)
(Cl(Gr(A))) р|(0 0 H) = 0.
A
(Cl(A))* = A*.
334
Доказательство. Справедливы равенства
Gr(Cl(A))*) = (V (Gr(Cl(A))))" =
(V (Cl(Gr(A))))" = (Cl(V ((Gr(A))))"- =
(V (Gr(A)))"- = Gr(A*).
Лемма доказана.
BA AB
Gr(A) с Gr(B), (4.186)
что означает:
Dom(A) с Dom(B) , //(x Є Dom(A)) : Ax = Bx.
Соотношение (4.186) записывается так:
A с B.
Лемма 4.7.2. Если
Cl(Dom(A*)) = H,
то
A с (A*)*.
Доказательство. В силу условия леммы оператор (A*)* существует. Имеем:
У(х Є Dom(A), y Є Dom(A*)) : <x, A*y >=< A*y , x >*
=<y, Ax >*=< Ax , y >=< (A*)*x , y > .
Следовательно,
y(x Є Dom(A)) : Ax = (A*)*x.
Лемма доказана.
A
A с A*, (4.187)
что означает:
\/(x , y Є Dom(A)) : < x , Ay >=< Ax , y > .
335
A
A=A .
Напомним, что оператор U Є L(H1 — H2) называется унитарным, если он обратим и
V(x Є Hi , y Є Hi) : <Ux,Uy >2=< x,y >i .
Определение 4.7.5. Оператор
A2 : H2 D Dom(A2) Э x — Є H
A1
A1 : H1 D DoIn(A1) Э x — A1x Є H1
если
Dom(A2) = U(Dom(A1)) , V(x Є Dom(A2)) : = UA1U~1x)
где U Є L(H1 — H2) -унитарный оператор.
A1 A2
A1 A2
