Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
300
Теорема 4.4.9. Если оператор A есть оператор Гильберта-Шмидта, то он компактен и справедливо равенство
||A | HS||2 = Sj(A)2, (4.82)
1< j<oo
где Sj(A) -характеристические числа оператора A.
A
{ej , 1 < j < сю) -полная ортонормированная система. Определим оператор
Pn : P-aj / ^ < ej , / > ej,
1<j<n
Справедливы оценки:
||(A - PnA)/1|2 = Y I < ej, A/ > |2 < ||A*ej||Ч ||/1|2. (4.83)
j>n \j>n /
A
Шмидта, то
||A - PnAH — 0 , n — оо.
A
ных операторов.
Для доказательства равенства (4.82) достаточно в (4.81) взять орто-нормированную систему {gj , 1 < j < оо) так, чтобы она включала в
| A|
Теорема 4.4.10. Множество операторов Гильберта-Шмидта есть линейное подпространство в L(H — H) и функция (4.78) задает на этом подпространстве норму.
Доказательство. Включение
V(A є HS,z є C1) : zA є HS
и однородность функции (4.78) очевидны.
Пусть A є HS , B є HSn {ej , 1 < j < оо) -полная ортонормирован-
H
B) I HS|| = ( ^ ||(A + B)ej||2)
1<j<o
1/2 / \ 1/2
||(A + B) I HSH = ( >J ||(A + B)ej ||2| < (HAej || + ||Bej ||)2 <
1<j<o
1/2 / \ 1/2
| Aej| 2 + | Bej| 2 = | A | HS| + | B | HS| .
1 < j< o 1 < j< o
301
Мы доказали, что множество операторов Гильберта-Шмидта есть линейное пространство и функция (4,78) удвлетворяет неравенству треугольника. Выполнение остальных аксиом нормы очевидно. Теорема доказана.
Теорема 4.4.11. Норма (4.78) удовлетворяет следующим условиям.
V(A Є HS) : ИАИ < ИА ! HSИ. (4.84)
V(A Є HS) : А* Є HS и ИА* ! HSИ = ИА ! HSИ (4.85)
V(A Є HS, В Є L(H — H)) : АВ Є HS , ВА Є HS и
Ива ! hsи < Цвцца ! hsи иав | hsи < ивииа | hsи. (4.86)
Доказательство. Из равенства (4.79) следует:
||Ag1 И < ИА | HSИ
Так как в качестве вектора может быть взят любой ортонормирован-ный вектор, то из этого неравенства вытекает (4.84). Равенство (4.85) следует из сравнения равенств (4.79) и (4.80).
Для доказательства неравенств (4.85) заметим, что если {ej , 1 < j < оо} -полная ортонормированная система в пространстве H, то
ИВА | HSИ2 = Y HBAejИ2 < ||В||2 Y HAejИ2 = ИВ||2||А | HSИ2,
1<j<00 1<j<00
и
HAB | HSИ = HB*А* | HSИ < HBH • НА | HS||. Теорема доказана.
HS
страпство относительно нормы (4.78).
HS
HS(A ,В) := Y < Aej , Bej >, (4.87)
1 < j< 0
которая не зависит от выбора полной ортонормированной системы {ej , 1 < j < о}
HS
произведение, которое порождает норму (4.78) и относительно ска-
HS
302
страпство.
Доказательство. Если последовательность {An} С HS фундаментальна по норме пространства HS, то в силу неравенства (4.84) она фундаментальна в L(H — H) и поэтому
ЗЛ : ||Л - Л„|| — 0 , n — то. (4.88)
Переходя к пределу n — то в неравенстве
HAn | HS||2 = 52 ||Anej||2 < conSt. i< j<oo
Л є HS
HS
Абсолютная сходимость ряда (4.87) следует из оценки | < Aej, Bej > | < ||AejH2 + ||Bej||2.
Равенство
||Л | HSH2 = HS(Л, Л) следует из (4.79). Теорема доказана.
Л є HS
ражение
U : H — L2(D, ju(dx)), что оператор Л, который делает коммутативной диаграмму
H — H
и и (4.89)
L2(D,^(dx)) — L2(D,^(dx)) есть интегральный оператор
V(/ є H) : AU/(x) = J a(x , y)U/(y)^(dy) (4.90)
D
с квадратично интегрируемым ядром
DxD
303
которое вычисляется по формуле
a(x ,y):=Yl <gi, Agj > ei(x)ej(у), (4.91)
1<i<oo , 1<j<oo
причем, справедливо равенство
jj |a(x , y)\2?(dx)?(dy) = ||A | HS||2. (4.92)
DxD
Доказательство. Пусть H -произвольное гильбертово пространство и {gj , 1 < j < сю} -полная ортонормированная система в пространстве H. Пусть D С Rd и {ej(x), 1 < j < то} -полная ортнормированная система в пространстве L2(D, ?(dx)). Мы будем считать, что функции ej(x)
Определим унитарное отображение
U : H — L2(D , /j(dx)),
равенством
Ugj = ej
Далее вычисляем, двигаясь по верхней и правой стрелке вниз на диаграмме (4.89). Имеем:
f = Y <9j ,f>9j ,Af = Y <9j , f> A9j =
1<j<o 1<j<o
Y <gj , f ><gi, Agj > gi;
1 < j< o , 1 < i< o
UAf = Y <9j , f ><9i, Agj > ei.
1<j<o , 1<i<o
Так как
<gj, f>=<ej, Uf >,
TO
UAf = Y <ej ,Uf ><gi, Agj > ei(x);
1<j<o , 1<i<o
AUf = Y <ej ,Uf >< gi, Agj >Єі =
1<j<o , 1<i<o
Y ,Agj > \[ e%(x)ej (y)Uf (y)fi(dy) I . (4.93)
1<j<o , 1<i<o D
304
Нам предстоит обосновать перемену порядка интегрирования и суммирования в (4,93). Мы сделаем это с помощью приема, который часто оказывается полезен в аналогичных случаях. Заметим, что так как Л є HS, то ряд в (4.91) сходится в метрике пространства L2(D х D , //(dx) х//(dy)), поэтому
V(// є H) : < AU/ , U// >= JJ (a(x , y)U/(y))* U//(x)/i(dx) х /(dy)
DxD
(4.94)
Воспользовавшись теоремой Фубини 1.2.6 (см. стр. 70) запишем интеграл в (4.94) как повторный:
y)U/(y))* U/(x)/(dx) х /(dy) =
DD
(a(x,y)U/(y)/(dy) I U/(x)/(dx)
DD
Заданный правой частью равенства (4.95) функционал
U//(x) — J (J(a(x, y)U/(y)/x(dy) J U//(x)/(dx) (4.95) DD
линеен и непрерывен. Следовательно, существует такой вектор b(x) є L2(D , /(dx)), что
V(// є H) : < b, U// >= / ( У((a(x, y)U/(y)/(dy) j U/(x)/(dx)
DD
(4.96)
По определению, интеграл в правой части равенства (4.90) мы будем считать равным этом вектору b(x) (это есть частный случай так называемого интеграла Петтиса: интеграл понимается как задаваемый подинтеграль-ным выражением линейный непрерывный фукционал). Равенство (4.92) следует из равенства Пасеваля. Теорема доказана.
