Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема. Образующая группы H1(AntZ) при гомоморфизме G*\H](An,2)-+Hl(L,Z) переходит в класс Маслова.
Следствие. Класс Маслова лагранжева подмногообразия в R211 не зависит от лагранжевой проекции R2n->-Rn.
Ниже приведены два описания образующей в группе
1.4. Лагранжев грассманиан и универсальный класс Маслова. Лагранжевым грассманианом An называется многообразие всех лагранжевых линейных подпространств 2п-мерного симплектического пространства. Многообразие всех ориентированных лагранжевых подпространств в R2n называется ориентированным лагранжевым грассманианом и обозначается Ап+. Очевидно, Ап+ является двулистным накрытием An-
Примеры. 1) Ai = RP1=Ai+'= S1.
2) Многообразие A2 изоморфно квадрике x2 + y2+z2 = u2 + v2 в RP4 как проективное алгебраическое многообразие (см. п. 1.3, гл. 1). Многообразие A24" диффеоморфно S2XS1. Накрытие A2+->-A2 является факторизацией S2XS1 по антиподальной инволюции (х, у) >-+(—х, —у) (в [48] A2 найдено неверно).
3) dim An = п (n+1)/2: лагранжево подпространство общего положения в R2n задается производящей квадратичной формой от п переменных.
Теорема. Грассмановы многообразия лагранжевых подпространств в Cn являются однородными пространствами: A„ = U„/0„, An+ = Un/SOn, где \Jn, On, SOn — унитарная, ортогональная и специальная ортогональная группы соответственно.
Действительно, ортонормированный базис лагранжева подпространства в Cn является унитарным базисом в Cn и обрат-
H1 (An, Z).
121" но, вещественная линейная оболочка унитарного репера в Cn является лагранжевьш подпространством. Унитарные базисы, порождающие одно и то же лагранжево подпространство, получаются друг из друга ортогональным преобразованием этого подпространства.
Следствие. Л] (An) =Hi{An, Z)^Hl(An, Z)^Z.
Рассмотрим отображение det2 : Un-^Cx, сопоставляющее унитарной матрице квадрат ее определителя. Отображение det2 корректно определяет расслоение лагранжева грассманиана An над окружностью 8' = {еіф} комплексных чисел с модулем 1. Слой SU„/SO,, этого расслоения односвязен, поэтому дифференциальная 1-форма a= (l/2n) (det2) *dq> на An представляет образующую группы одномерных когомологий H1 (Ап, Z). Эту образующую мы будем называть универсальным классом Маслова.
Пример. det2: Ai-^-S1 — диффеоморфизм, a=dQ/л, где 0 — угловая координата прямой /ЄAi на плоскости R2.
Определим вложение /: An-Ic-An следующим образом. Пусть H — гиперплоскость в R2". Проекция Я-н>-Я/Ях в 2п—2-мерное симплектическое пространство характеристик гиперплоскости H устанавливает взаимно однозначное соответствие между п—1-мерными лагранжевыми подпространствами в Я/Ях и n-мерными лагранжевыми подпространствами, лежащими в Я.
Лемм а. Вложение / индуцирует изоморфизм фундаментальных групп.
Действительно, последовательность вложений Aic-Aac-... ... «-А« отображает окружность Ai в окружность S, по которой интеграл 1-формы а на An равен единице, т. е. вложение Aic-An индуцирует изоморфизм Я) (Ai)-^ni (An).
Предъявим теперь цикл, двойственный образующей группы Я'(АП, Z) = Z. Фиксируем лагранжево подпространство LczR2n и обозначим через 2 гиперповерхность в An, образованную лагранжевыми подпространствами в R2n, не трансверсальными L. Лагранжевы пространства в R2n, пересекающиеся с L по подпространствам размерности 2 и более, образуют множество 2' коразмерности 3 в An (и 2 в 2). В точках А62\2' гиперповерхность 2 гладкая. Коориентируем 2, выбирая в качестве вектора положительной нормали в точке X вектор скорости кривой еівХ (он трансверсален к 2).
Теорема. Индекс пересечения 1-цикла в Ara с коориенти-рованным циклом 2 равен значению универсального класса Маслова на этом 1-цикле.
Действительно, индекс пересечения образующей S группы Hi (А„, Z) с циклом 2 равен 1.
Цикл Г особенностей проекции лагранжева подмногообразия в R2n вдоль лагранжева подпространства L — прообраз цикла 2 при гауссовом отображении. Отсюда следует теорема п. 1.3.
122" Замечание. Индекс Маслова нашел применение в теории представлений [57]. В этом контексте используется серия индексов Маслова — симплектических инвариантов цепочек k лагранжевых подпространств в R2n. Простейший из них тройной индекс т(А,ь %2, Аз) равен сигнатуре квадратичной формы Q(xi©x2©a:3) = to (лгь х2)+а(х2, х3)+м(л:3, ) на прямой сумме лагранжевых подпространств А1ФА2ФА3, где со— симплектиче-ская форма в R2". Он обладает свойством коцикла: t(Ai,A2, Аз) — —т(Аі, A2, A4) (Аі, Аз, A4)—т(Аг, A3, А4)=0. С помощью индекса Маслова четверки подпространств т(Аь K2, А3)+т(Аь A3, A4) можно на лагранжевом подмногообразии в пространстве кокасательного расслоения любого многообразия определить коцикл Чеха, отвечающий классу Маслова из п. 1.3 (см. [48]).
1.5. Кобордизмы волновых фронтов на плоскости. Простейший пример лежандрова кобордизма — соотношение между следами распространяющегося в трехмерной среде волнового фронта на ее границе в разные моменты времени. Эти следы не обязательно гомеоморфны, но их кобордантность накладывает ограничения на типы особенностей (см. следствие 1 ниже).
