Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
2.3. Контактизация. Она определяется в том случае, если симплектическая структура на многообразии N задана как дифференциал 1-формы а. По определению, контактизация многообразия (N, а)—это многообразие RXiV с контактной структурой du = а, где и — координата на R.
Пример. Пусть N — симплектизация контактного многообразия. Так как симплектическая структура на N задается как дифференциал канонической 1-формы а, то контактизация N определена. В частном случае N=T*B контактизацией многообразия N является пространство 1-струй функций на В.
Для данного симплектического многообразия (N, ю) с точной симплектической структурой различный выбор потенциала a(da = a) приводит к различным контактным структурам в RX XN. Все же если разность двух потенциалов ai, a2 точна («і—а2 = ??ф), то соответствующие структуры эквивалентны в следующем смысле: сдвиг (и, х) i-> (и + ф(х), х) является KOH-тактоморфизмом (RxAr, du—ai) на (RXiV, du—«2). Если замкнутая форма «і—a2 не является полным дифференциалом, то эти контактные многообразия могут быть не контактоморф-ны.
Описанная ситуация типична. Симплектизация контактных объектов существует всегда и приводит к топологически тривиальному симплектическому объекту. Контактизация существует лишь при некоторых условиях топологической тривиальности и может давать неоднозначный результат. Вот еще один пример такого сорта. Пусть задана контактизация R XiV-WV. Контактизацией лагранжева многообразия AcziV называется лежандрово подмногообразие LczRxN, диффеоморфно проектирующееся на Л. Нетрудно убедиться, что контактизация лагранжева многообразия существует в том и только том случае, если замкнутая 1-форма а|Л на Л точна. Если а|Л=^Ф, то можно положить 1={(ф(Х), X) 6RXiV|WA}. Функция ф определена однозначно с точностью до прибавления локально постоянной функции на Л, и мы видим, что контактизация неединственна. Допускающие контактизацию лагранжевы вложения будем называть точными.
2.4. Лагранжевы вложения в R2". Окружность на симплектической плоскости не обладает контактизацией: интеграл Spdq равен площади области, ограниченной этой окружностью, и отличен от нуля. Другими словами, проекция лежандровой
85" окружности в R3 на симплектическую плоскость имеет точки самопересечения. Вопрос о существовании точных лагранжевых вложений нетривиален уже для двумерного тора.
Теорема ([3]). Ориентируемое компактное лагранжево подмногообразие в симплектическом пространстве R2n имеет нулевую эйлерову характеристику.
Доказательство. Индекс самопересечения ориентируемого подмногообразия в его трубчатой окрестности такой же, как в объемлющем пространстве. Индекс самопересечения в евклидовом пространстве — нулевой. Индекс самопересечения в трубчатой окрестности равен эйлеровой характеристике нормального расслоения. Для лагранжева подмногообразия нормальное расслоение изоморфно касательному.
В частности, сфера не вкладывается лагранжево в R4. Тор допускает лагранжевы вложения в R4. Существуют точные лагранжевы вложения тора в пространство R4 с нестандартной симплектической структурой. Точных лагранжевых вложений тора в стандартное симплектическое пространство нет.
Теорема (Громов (М. Gromov), 1984 г.). Замкнутое п-мер-ное многообразие не имеет точных лагранжевых вложений в стандартное 2м-мерное симплектическое пространство.
Из этой теоремы, примененной к двумерному тору, следует существование симплектического многообразия, диффеоморф-ного R4, но не симплектоморфного никакой области в стандартном симплектическом пространстве R4
Теорему можно переформулировать так (см. [3]): компактная гиперповерхность фронта0 в /0Rn со всюду невертикальным касательным пространством имеет вертикальную хорду с параллельными касательными пространствами на концах (рис.28).
Теорему можно переформулировать так (см. [3]): ком-ческой теоремы Пуанкаре, обсуждавшимися в п. 4.3 гл. 2. Однако аргументы Громова отличны от описанных там вариационных методов и основаны на изучении квазикэлеровых структур на симплектическом многообразии. Возможности развитых им методов выходят далеко за рамки сформулированной теоремы.
Рис. 28
') Определение фронта см. в п. 1.1 главы 5.
86" § 3. Метод характеристик
Уравнение в частных производных Iai(X)OuIdXi = 0 выражает тот факт, что искомая функция и постоянна на фазовых кривых векторного поля IaiOjdxi. Оказывается, произвольное уравнение в частных производных первого порядка F(и, ди/дх, х) = 0 допускает сведение к системе обыкновенных дифференциальных уравнений на гиперповерхности F (и, р, х) = О в контактном пространстве 1-струй функций от х.
3.1. Характеристики на гиперповерхности в контактном пространстве. Пусть ГсМ2п+1 — гиперповерхность в контактном многообразии. Характеристическим направлением 1(х) в точке хбГ называется ядро ограничения дифференциала dxа контактной 1-формы а на (вообще говоря, 2п—1-мерное) пересечение П(Ar)HT^r гиперплоскости контактного поля П с касательным пространством к гиперповерхности. Эквивалентное определение: на прообразе гиперповерхности Г при симплектизации L2r'*2-*M2n+l определено Кх-инвариантное поле направлений — косоортогональных дополнений к касательным гиперплоскостям. Проекция этого поля в М2п+Х определяет поле характеристических направлений на Г. Оно имеет особые точки там, где Г касается гиперплоскостей контактного поля П. Интегральные кривые поля характеристических направлений называются характеристиками гиперповерхности Г.
