Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Другой способ построения функций в инволюции по пуассоновой паре состоит в следующем. Пусть fv, gw ¦—функции Казимира пуассоновых структур V, W соответственно (здесь предполагается, что пуассоновы структуры V, W, образующие пуассонову пару, вырождены — в противном случае /V и gw необходимо константы).
Лемма. Функции fv и gw находятся в инволюции относительно пуассоновой структуры XV-\-yiW.
Мы применим эту лемму в следующем пункте.
2.5. Функции в инволюции на орбитах коалгебр Ли. Пусть g— алгебра Ли. На сопряженном пространстве д* имеется линейная пуассонова структура (см. п. 3.3, гл. 2): скобка Пуассона линейных функций х, у на д* равна их коммутатору [х, у] в д. Симплектические слои этой пуассоновой структуры— орбиты коприсоединенного действия алгебры Ли g в д*, функции Казимира — инварианты коприсоединенного действия. Следующий способ построения функций в инволюции на орбитах называется методом сдвига аргумента.
Теорема. Пусть /, g : g*-^R — инварианты коприсоединенного действия алгебры Ли д, ?оед*. Тогда функции /(| + Я§а), ?Г(ё + ц&э) точки находятся в инволюции при любых
X, |x6R на каждой орбите коприсоединенного действия.
Доказательство основано на следующей лемме.
Лемма. Пусть со — внешняя 2-форма на д. Определяемая формой м постоянная пуассонова структура на д* ообразует с
62 линейной пуассоновой структурой на д* пуассонову пару тогда и только тогда, когда со — 2-коцикл на д, т. е. Yx, у, z6g
©([*, У]. z) z],x)+(o([z, х], г/) =0.
Если 2-коцикл to является кограницей, т. е. <о(х, у) = = to([x, у\), где go?g* — линейная функция на д, то пуассонова структура {, }ь= [ , ] + Аш( , ) получается из линейной пуассоновой структуры [, ] сдвигом в д на А§3. Функции f(g + Ag0)> ?(і + цІо) являются в этом случае функциями Казимира для пуассоновых структур {, {, Jli соответственно. Применяя лемму предыдущего пункта, получим утверждение теоремы при Аф\х, и по непрерывности — для любых A, fj,6R.
2.6. Представление Лакса (P. Lax). Говорят, что задано представление Лакса системы дифференциальных уравнений x = v {х) на многообразии M (v — векторное поле на М), если
1) заданы два отображения L, А\М->g многообразия M в алгебру Ли g (например, в алгебру матриц) причем L— вложение;
2) имеет место уравнение Лакса L=IX, А], где L— производная L вдоль векторного поля V, [, ] — коммутатор в алгебре Ли д.
Уравнение Лакса L=IX, Л] означает, что L, изменяясь во времени, остается в той же орбите присоединенного действия алгебры Ли д. Поэтому инварианты орбиты (например, коэффициенты характеристического многочлена или собственные числа L если д — алгебра матриц)—перзые интегралы системы X= V (х).
Пример 1. Пусть Н(р, q)—полиномиальный гамильтониан в стандартном симплектическом пространстве R2n с особой точкой 0. Разложим H в сумму SXfe однородных слагаемых степени k (кф 1) и положим G = ZHhKk—1). Рассмотрим следующие матрицы размера (2п+ 1) X [2п + 1) (E— единичная матрица размера п):
A=
0 ! E
— Е ! 0
о
L =
о
= A
d2G
о
LOIO
.рч\ О Gnn
A =
О
Ip I q
-q р\ъ J
Gn
¦Gr,
-О,
О
Тогда L= [L, А]—представление Лакса для системы уравнений Гамильтона с гамильтонианом H (мы используем формулы Эйлера Gppp + Gpgq = Hp, Gqvp + Gqqq = Hq).
В этом примере L3 = O, и никаких первых интегралов не возникает. Обычно интегрируемые системы связаны с нетривиальными однопараметрическими семействами представлений Лакса.
63- Пример 2. Пусть в примере 1 // — квадратичный гамильтониан. Тогда Л —постоянная матрица. Мы можем положить L% = L +ЯЛ, где К — параметр, и получим представление Лакса L% = \Lx, А) линейной гамильтоновой системы. Пусть теперь S- матрица квадратичного гамильтониана ( Sz, z ) /2 в координатах Дарбу z = (p, q), Q = (g q)~~матрица симплектической формы. Тогда характеристический многочлен матрицы L\ имеет вид: det (Hif2n+1 ~Z-x) = det (KS — цй) [(х + < (KS — |хй)-1 Qz, Qz)]. Коэффициенты этого многочлена при \x2k, A = O,... ..., п — 1, —квадратичные по г первые интегралы нашей линейной гамильтоновой системы. Они находятся в инволюции. Действительно, полагая вуц = й* (KS — р-й)-1 й и используя тождество wa — W? = (a — '?)wiiQwa, для квадратичных форм Ia= < waz, z > и /?= < W?Z, z } получим
{la, /f}= < й (®а +та-а) 2, (W? +®_?) 2 ) = = (K-P)"1 ( [(wa — W-a) — (Wfi — W-?)]z, Z > + + (а-t-?)-1 < [(¦wa — w-a)-jr(w? — w-?)]z, z ) =0, так как Wv.- — кососимметрические матрицы.
Практически все известные на сегодняшний день вполне интегрируемые системы могут быть проинтегрированы с помощью подходящего представления Лакса, в котором L и А — матрицы с полиномиальными по параметру К коэффициентами.
Пример 3. Свободное вращение многомерного твердого тела. Рассматриваемая система эквивалентна геодезическому потоку специальной левоинвариантной римановой метрики на группе SOk. Метрика задается квадратичной формой инерции «во внутренних координатах тела» (см. п. 1.1), т. е. на алгебре Ли so„. Как мы увидим в § 3, исследование такой системы сводится к изучению гамильтоновых потоков на орбитах копри-соединенного действия в sore* с квадратичной функцией Гамильтона. Квадратичная форма инерции на алгебре son косо-симметрических nXn-матриц имеет вид —tr(a>oco), где co6son,
