Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
AxI = А? +D (аОН- ...
Здесь D зависит от х линейно; D (х) является линейным оператором из X в Y. Обозначим через i: Ker A0 —>• X вложение ядра оператора A0 в пространство-прообраз и через те: Y Coker A0 проекцию пространства-образа Y вдоль A0X на фактор-пространство YIA0X. Значение внутренней производной на векторе х
4 В. И. Арнольд и др. 1.6
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
из T0S определяется как линейный оператор, действующий из ядра в коядро отображения A0, а именно:
дА (ж) = по D (х) о г: Ker A0 -> Goker A0.
Очевидно, этот оператор линейно зависит от х. Ясно также, что он не зависит от использованной системы координат на базе.
3.3. Инвариантность внутренней производной. Покажем, что построенный оператор не зависит от систем координат в слоях. Действительно, перейдем к новым координатам ї, -7) в слоях по формулам
I = P(Z)^1 Tj = C(Z)T1
(P (х) и Q (х) — гладко зависящие от точки базы х линейные операторы изХвХиизУвУ соответственно). В новых координатах
исходное отображение -t\=A (х) І перепишется В виде TJ = А (х) I, где A (х) = —Q{x) А (х) P (х). Дифференцируя по х в точке х=0, получаем
Первое слагаемое обращается в нуль на Рис. 32. ядре A0, а третье принадлежит образу A0.
Обозначая вложение ядра A0 и проекцию на коядро через I и к, получаем выражение внутренней производной в новых координатах в виде
дА(х) = noD (x)ol =
= KoQoD (х)оРої — Qotzo D (x)oio Р~ QodA (х)оР,
что и доказывает независимость линейного оператора дА (х) от выбора систем координат.
3.4. Вертикальное расслоение отображения. Применим сказанное к производной гладкого отображения /: M -> N. Производная задает отображение векторных расслоений f.,,x'. TxM —> —> Tf^N с разными базами. Чтобы сделать базы одинаковыми, мы свяжем с отображением / новое расслоение — вертикальное расслоение отображения /. Это расслоение всегда полезно иметь в виду при работе с отображением /. Определяется оно так.
Рассмотрим график Г^ отображения /: M -> N (рис. 32). График представляет собой подмногообразие прямого произведения MxN. Прямое произведение MxN можно рассматривать как расслоение с базой М. График является сечением этого расслоения: его проекция на M вдоль N представляет собой диффеоморфизм Г * M. Слои, параллельные N1 пересекают график g 3] КВАДРАТИЧНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОСОБЕННОСТИ 51
трансверсально. Касательные пространства к слоям во всех точках графика и образуют вертикальное расслоение отображения /. Отождествляя график Г/ с многообразием-прообразом M при помощи естественной проекции, мы можем рассматривать вертикальное расслоение как расслоение с базой М. В таком случае мы можем сказать, что вертикальное расслоение отображения /: M —> —N есть расслоение, в котором слоем над точкой х из многообразия-прообраза M является касательное пространство Tf(x)N к многообразию-образу N в образе точки х.
Вертикальное расслоение отображения / обозначается через f*TN.
Производная отображения / задает естественное отображение касательного расслоения к многообразию-прообразу в вертикальное расслоение: вектору ? из TxM сопоставляется вектор из слоя Tfix)N вертикального расслоения. Внутренняя производная этого отображения расслоения определяет билинейное отображение Ь: TxM X Ker f^x -> Coker Это билинейное отображение, инвариантно определенное дифференцируемым отображением /, содержит несколько больше информации, чем квадратичный дифференциал. Последний получается при сужении 8 на «диагональ»:
Ч> ^) = 2/«(«) ДЛЯ ? из Ker и.
3.5. Семейство квадратичных форм, соответствующих квадратичному дифференциалу. С квадратичным дифференциалом fxx инвариантно связано семейство L квадратичных форм. Обозначим через F линейное пространство всех вещественных квадратичных форм на Ker fx, через С' — сопряженное пространство к Coker fx. Каждой форме
a: Coker —> R1, а ? С',
соответствует квадратичная форма а о fxx(~F.
Определение. Семейством квадратичних форм, соответствующим fxx, называется линейное отображение кокоядра fx в пространство квадратичных форм на ядре fx:
L: С' Ft
заданное формулой L (a) = aofxx-
Пример. Пусть размерности Ker fx и Coker fx равны 2.
Пространство F квадратичных форм от двух переменных трехмерно, и семейство L есть отображение двумерной плоскости С' в трехмерное пространство F.
В пространстве квадратичных форм F есть дополнительная структураг определенная классификацией форм по индексам
4* iu
основные понятия
[ИІ, і
инерции. Пусть X1, X2 — координаты на Ker fx. В пространстве F введем координаты а, Ъ, с, где точка с координатами а, Ъ, с означает форму \
ах\ -J- IbX1Xi -J- сх\.
Формы ранга 1 (параболические) образуют в пространстве F конус Ь2=ас (рис. 33). Вершина конуса — нулевая форма. Внутри двух пол конуса находятся эллиптические формы типов (+, +)
и (—, —), а вне — гиперболические формы типа (+, —).
Семейство L изображается подпространством L (С') <Z F, и это подпространство может быть расположено одним из семи способов:
1 .-^Плоскость, вея лежащая вне конуса (все формы пучка гиперболические) (пример: CL1 (х\ — xf) -J- OLiX1X2).
