Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим теперь, что / — унимодальная квазиоднородная особенность и что базис состоит из мономов
ег, ¦ ¦ •: e^z, ^1=/, Cpl = 1.
Лемма. Всякая гиперповерхность, трансверсалъная оси Ха_г, переводится в окрестности точки 0 в росток гиперплоскости X 1=0 диффеоморфизмом из G. § 21 j КЛАССИФИКАЦИЯ ЛАІ'РАНЖЕВЬІІІ ОССІБЕЙЦОСТЕЙ 277
Доказательство леммы основано на следующих вычислениях. Умноженню F на 2?=I-Hg отвечает семейство диффеоморфизмов из G, зависящее от времени t. Соответствующее поле скоростей на базе можно вычислить при ?=0 следующим образом: Л= = УЛ. (X) д/д'к., где Af — компоненты разложения
X)F(x, X) = SA<(®. *)W?xt + 2&j(k)ef(x),
получающегося при дифференцировании по t соотношения (1 + tg)F(Ht(x, X), ft(K))~F(x, X).
Рассмотрим поля А1,.. ., А11, получающиеся этой конструкцией при g = elf. .., е^. Нетрудно сосчитать, что для непараболических унимодальных особенностей р. функций Л*_! = A1X^1 (i = 1,. . ., р) в нуле независимы; для параболических же особенностей независимы [А функций A?_j (і =jt= Jl), X^1. (Здесь Є ^1 = J, 6,,.= 1.)
[Действительно, для квазиоднородной особенности с весами deg Xi = a,., deg / = 1 обозначим через v эйлерово поле: V = = ^aiXfdfdXi. Тогда f = vf, поэтому для F = находим
F = vF -j- 2 (1 — deg 6j) X^-. Следовательно,
Fei = (etv) F + 2 (1 - deg ej X^ej.
Предположим, что в локальной алгебре [е.] [e? = 2с* у [efc]. Тогда W3 = Ж, Л + 2? у (X) df!dxk = Цс* .е, + ZK JdFldxk + О (IX j). Следовательно, A^1 = Ai (X) + 0(jX |2), где ++) = 2^-(1 ~ — deg ej) Xj. Билинейная форма, заданная матрицей невырождена (ср. п. 5.4). В непараболическом случае все deg е^ отличны от 1, поэтому [A., i = l,..., fji) независимы. В параболическом случае отличны от единицы все deg ejt кроме deg е В этом случае OAJOX^1 = O и A,t = 0. Поэтому формы (Av . ¦ ., A1; X^1) независимы.]
Это позволяет привести обычным гомотопическим методом к нормальной форме X j диффеоморфизмами из G функцию ср с ByjcfX^1 (0) 0 в недараболическом случае и к форме X1 = 0 — поверхность <р = 0 в параболическом (ср. п. 22.2).
Лемма позволяет уничтожить функцию и в лагранжевых нормальных формах, сохраняя класс У-эквивалентности производящего семейства и, следовательно, сохраняя лежандров класс особенности.
Замечание. Приведенные классификационные теоремы найдены В. М. Закалюкиным в его диссертации (МГУ, 1978). В [55] приведены менее полные и частично ошибочные (в лежан-дровом случае) результаты. 27 S
ОСОБЕННОСТИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
[ГЛ, IIl
Следует подчеркнуть, что, за исключением случая простых особенностей, мы не утверждаем постоянства топологии в пределах класса, так что наша классификация, вообще говоря, грубее даже топологической. Действительно, топологический тип бифуркационных диаграмм (фронтов) может меняться вдоль страта fi=const, как еще в 1970 г. заметил Ф. Фам [162]. Фам изучал распадение особенности J3 0=з?-\-ах2у3-\-у9 на Ea и Ea на одном уровне; такое распадение возможно при а=0 и невозможно при близких а. Все распадения простых особенностей функций описаны О. В. Ляшко [65]. Распадению параболических особенностей посвящена серия недавних работ Уолла. Рассматривая распадения особенности P8, Уолл нашел десятки эллиптических кривых, являющихся исключительными по отношению к распадениям.
§ 22. Бифуркации каустик и волновых фронтов
Распространяющийся волновой фронт не во все моменты времени будет фронтом общего положения: в отдельные моменты он перестраивается. Исследование таких перестроек приводит к задаче об особенностях общего положения в однопараметрических семействах лежандровых отображений. В этом параграфе изучаются однопараметрические семейства общего положения лагранжевых и лежандровых особенностей. Указаны нормальные формы в случаях, когда размерность фронта не превосходит четырех (размерность каустик не превосходит двух).
22.1. Большой фронт и функция времени. Рассмотрим семейство лежандровых отображений, зависящих от одного параметра t. Рассмотрим прямое произведение содержащего фронты Z-мерного пространства (т. е. базы лежандрова расслоения) на ось времени. Мы будем называть это прямое произведение пространством-временем, а его естественное отображение на ось t — функцией времени.
Объединение фронтов, соответствующих всем t, мы назовем большим фронтом. Это (вообще говоря) гиперповерхность в про-стр анстве-времени.
Предложение. Росток большого фронта в каждой точке является ростком фронта лежандрова отображения в пространство-время.
Доказательство. Пусть временной фронт в момент t задается производящим семейством гиперповерхностей Ft (х, л)=0 (параметр 1 — это точка содержащего фронт Z-мерного пространства). Рассматривая t как Z+1-й параметр, мы определяем той же формулой производящее семейство гиперповерхностей для лежандрова отображения в пространство-время. Фронт этого отображения совпадает с большим фронтом. § 22]
БИФУРКАЦИИ КАУСТИК И ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
279
Определение. Перестройкой фронта называется диаграмма ростков
где і — вложение Z-мерного фронта, at — гладкая функция, дифференциал которой в изучаемой точке отличен от нуля. Эквивалентностью перестроек называется коммутативная диаграмма, горизонтали которой — перестройки, а вертикали — диффеоморфизмы. Эквивалентность называется сильной, если последняя вертикаль — сдвиг (if2 = ^1-Hconst).
