Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
c x x
Зададимся произвольным числом є > 0. Тогда для любой величины Az с условием |Aar| < имеем |AF(x)j < є. Следовательно, функция AF(x) является бесконечно малой при Ax —> 0, т.е. функция F(r) непрерывна на отрезке [а, Ь]. Теорема 1 доказана.
г
Теорема 2. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [а, 6] и непрерывна во внутренней точке Xq этого отрезка. Тогда
x
F(x) = //(«) du дифференцируема в точке х = Xq и Ft(х0) = f(xо).
a
Доказательство. В силу непрерывности функции f(x) в точке X0 для всякого числа є > 0 существует S = <$(є) > 0
219- такое, что для всех и с условием ju — ат01 < S справедливы неравенства f{x0)-e<f{u)<f{x0)+?.
Возьмем любое IAx[ < S так, чтобы отрезок с концами Xq и xq + Ax содержался бы в отрезке [а, 6]. Интегрируя неравенства, получим
«0 + Д* xq+AX
Го аг0
т.е. при любом Дх с условием |Дх{ < S выполняются неравенства .
Отсюда имеем
/(«о) - ? < =^fi < /(»о) + г.
Теорема 2 доказана.
S 2. ТЕОРЕМА НЬЮТОНА - ЛЕЙБНИЦА. ФОРМУЛЫ СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА И АБЕЛЯ
Формулу Ньютона - Лейбница называют основной теоремой интегрального исчисления, поскольку она связывает понятия определенного и неопределенного интегралов.
Теорема 1 (Формула Ньютона - Лейбница). Пусть функция f(x) ограничена на отрезке [а, Ь] и имеет не более конечного числа
x
точек разрыва. Тогда функция F(x) = f /(«) du является первообраз-
a
ной для функции /(х) на отрезке [а, 6] и для любой первообразной Ф(х) справедлива формула
ъ
J /(«) du = Ф(6) - Ф(а).
а
( Доказательств о. Из теорем 1 и 2 предыдущего параграфа
x
следует, что функция Р{х) = f /(u) du является непрерывной на
а
отрезке [а, Ь] и во всех точках непрерывности функции /(х) существует производная от F(x) и она равна /(х). Следовательно, функция F(x)
220- является первообразной для функции /(х), кроме того, имеет место формула
Ь а
J /(u) Vu = F(b) = F(b) - F(a), F(a) = J f(u) du = 0.
a a
Пусть Ф(х) — любая другая первообразная функция для /(г). Тогда по свойству первообразной функции существует такое число с, что Ф(г) = F(x) + с. Следовательно, имеет место равенство
ь
Ф(6) - Ф(а) = - F(a) = J /(«) rfti.
а
Теорема 1 доказана.
В качестве приложения формулы Ньютона - Лейбница выведем формулы суммирования Эйлера и Абеля.
Теорема2 (Формула суммирования Эйлера). Пусть функция fix) имеет непрерывную производную на отрезке [а, 6], р(х) — \ — {х}. Тогда при любом х} принадлежащем отрезку [а, 6], справедлива формула
x x
? /(n) - p(x)f(x) = J f(u) du-J p(u)f(u) du - p(a)f(a).
a<n<x a a
Доказательство. Обозначим левую часть последнего равенства через G(x). Легко видеть, что функция G(x) непрерывна на отрезке [а, Ь]. Действительно, если число х — нецелое, то она будет даже дифференцируема, а если число х = п — целое, то сумма в выражении для О(х) возрастает на величину /(п), а функция p(x)f(x) убывает ровно на f(n) при переходе через точку х = п, так что скачок суммы гасится скачком функции p(x)f(x). Следовательно, можно применить формулу Ньютона - Лейбница.
Но тогда при нецелом х имеем
Jt x
G(x) = G(a) + J G'(u) du = -p(a)/(a) + J(~p(u)f(u)Y du =
x г
= -p(a)f(a) + J f(u) du- J p(u)f(u) du.
221- Теорема 2 доказана.
Ценность этой формулы состоит в том, что она позволяет приближенно заменить сумму на интеграл. Заметим, что часто удобно в качестве пределов суммирования брать полуцелые числа.
Пример. (Упрощенная формула Стирлинга .) При п > 2 справедливы неравенства
5 пп+а
Действительно, из формулы суммирования Эйлера получим
п+0,5 п+0,5
Inn! = In 1+1п2н-----Klnn = E Inm= f Int dt- f dt =
= (n-f 0,5)In(n +0,5)-n-0,5-0,5InO,5 + 0,5-r(n).
t
Оценим величину r(n). Полагая <r(t) = J p(u) du, 1<г(<)| < g, будем
0
иметь
n+0,5 n+0,5 n+0,5
П+0,5 ' <7(0
'«= / / as.tfi™. /
0,5 0,5
Следовательно, справедлива оценка
0,5
|г(»)|<2.».і = і.
Таким образом, находим
Inn! = (n + 0,5)lnn-n+(n + 0,5)ln(l + + 0,5In2 - r(n),
|lnn!-(n + 0,5)Inn + n| < (n + 0,5) In (1 + 7—-) + 0, 5In2 + |r(n)| <
Jn
9
< 0, 51n2 + - < In5.
O
Потенцируя это неравенство, получим сформулированную оценку.
Заметим, что в случае, когда пределы суммирования в теореме 2 — целые числа, то его можно переписать в несколько иной форме.
222- Теорема 3. Пусть а и b — целые числа и функция f(x) имеет непрерывную производную на отрезке [а, Ь]. Тогда справедлива следующая формула:
ь 6 6
? f(n) =/<а) + f f{x) dx+ f {x}f'(x) dx.
n '— л
n—а
Доказательство. Так как а и 6 — целые числа, то р(а) = = 5. Кроме того, имеем
6 ь
J p(x)fix) dx = l-№ - lfia) - J {х} fix) dx.
a a
Подставляя полученные выражения в формулу теоремы 2, приходим к утверждению теоремы 3.
Пример. При целом N > 1 имеет место соотношение
ft —1 4 ' В силу теоремы 3 получим
ЛГ N N
Al , Cdx С {х}^
^ = E- = I + -- Lldx = n=1 1 1
OO \ OO
= ln»+ L JigdxUJigjx.
OO
Обозначим через 7 следующее выражение 7 = 1 -J ^f-dx. Будем
