Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
ИI
Используя формулу Гаусса - Остроградского, получим
-///(3F-
Далее имеем
= 1 3(х - а)г'х д(^) = 1 3(у-6)гу а® Г3 г4 ' ду г3 г4
а(^) = _ 3<г - c)r'z / = fj^a / = Vzl / = ?л_ дг г3 г4 ' * г ' у г *' z г
Следовательно, получим
G = fff ( » _ »((«-«)' + (»-»)' + (*-с)»)) ^ = 0
V
Если точка P EV\S, то окружим ее шаром Ve, целиком лежащем внутри V \ S. Поверхность этого шара обозоначим через Se. В силу предыдущего имеем
с
0 = //^^ = ///0^.
s\s, v\v,
Но поскольку имеет место равенство, которое символически можно записать так:
-JJ-I-
S\S. S S,
то, в силу равенства
//=^W
5.
имеем, что значение G интеграла в случае P Є V \ S равно 4я\
627 Случай, когда P E S рассматривается аналогично. 3. Формула Грина. Замечательным следствием формулы Гаусса -Остроградского является еще одна формула Грина, имеющая важные приложения в математической физике.
Пусть и и v — гладкие функции, имеющие непрерывные вто-
" " " TT
рые частные производные ихх,иуу)иг2. Пусть также V — выпуклый, измеримый по Жордану, компакт с границей dVy являющейся кусочно-гладкой ориентированной поверхностью. Пусть, кроме того, Ди = + -f обозначает оператор Лапласа, — производную по направлению внешней нормали к поверхности dV. Тогда справедлива следующая формула Грина
av V
Действительно, по формуле Гаусса - Остроградского получим
дх ду dz
dV
cos (п, Єї) + и~ cos (n, e2) -I- u~ cos (n, dS
=Jhrn'3-
dV
Далее, имеем
д{и?) ^dudv t J2 v
дх дх дх дх2'
д (*?) ди dv d2v —і—-L- —---и-
ду ду ду ду2'
а(ц^) _ dudv
dz ~ dz dz dz2' Используя полученную для величины А формулу, найдем
Жди <9v dudv dudv\ , dx dx ^dydy + dz dz)
V
/I^S-fJju^V.
628 Поменяем в последней формуле функции и Hv местами. Левая часть равенства при такой замене не изменится, следовательно, не изменится и значение выражения, стоящего в правой части. А это дает следующее равенство:
H uTnds- /// иД» dV = JI vTnjs-///
QV V av V
If (ъ-ъ) dS=Jff^-vWdv-
dv V
Последняя формула называется формулой Грина и является весьма полезной при исследовании гармонических функций, т.е. функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа Au — 0. Лекция 13
§ 8. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ТОЛЬКО ОТ ПРЕДЕЛОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Будем считать, что P,Q, R — гладкие функции. Сформулируем и докажем теорему о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования, имеющего фиксированные начальную и концевую точки.
Теоремаї. Пусть L — кусочно-гладкая невырожденная кривая. Тогда для того чтобы интеграл
I = J Pdx+ Qdy+ Rdz
L
не зависел от пути интегрирования (а зависел только от начальной и концевой точек кривой L), необходимо и достаточно, чтобы существовала функция h(x,y,z) такая, что
dh = Pdx + Qdy + Rdz.
Мы считаем, что P,Q,R,L определены внутри некоторого шара Q Є M3
Доказательство. Необходимость. Пусть интеграл I не зависит от пути интегрирования. Обозначим через fo центр шара Q и через г, г і — произвольные точки шара Cl. Поскольку интеграл I зависит только от начальной и концевой точек кривой L, интеграл j-Qfuj,u> = Pdx + Qdy + Rdz, есть функция от г. Обозначим ее через h(r). Пусть точки гі и г лежат на прямой, параллельной оси Ох. Тогда
x
h{r) -A(ri) = J Pdx = J P{t,yi,zi)dt.
L xi
Дифференцируя это равенство по первой переменной х, получим
dh{r)
дх
Аналогично, имеем
= P(Tl).
ду ' dz
630 Следовательно, дифференциальная форма us есть полный дифференциал. Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть fi и г2 — любые точки, принадлежащие ?1, и L — кусочно-гладкая невырожденная кривая, имеющая своими концами точки fj и г2. Пусть f = r(t),t Є [0>1]> — параметризация этой кривой. Тогда, переходя от криволинейного интеграла к определенному интегралу от одной переменной, получим
і
Jdh = J h[(r(t))dt = h(r2) -Л(гі).
Это означает, что интеграл от полного дифференциала зависит от начальной и концевой точек пути интегрирования, но не зависит от самого этого пути. Теорема 1 доказана.
Выясним теперь условия, при которых дифференциальная форма и есть полный дифференциал от некоторой функции h(r). Для простоты рассмотрим только двумерный случай.
Теорема2. Пусть Q — выпуклая область в Ж2. Для того
чтобы дифференциальная форма и> = Pdx + Qdy на Q была полным
дифференциалом, необходимо и достаточно, чтобы для всех точек Q
дР до
выполнялось равенство = .
Доказательство. Необходимость. Если дифференциальная форма и) является полным дифференциалом, то есть ш = dh, дР QQ
то равенство = означает равенство смешанных производных. Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть выполняется равенство
dP_dQ ду дх
Рассмотрим функцию
X у
h(x,y) = J P(t,y)dt + J Q{x0,v)dv,
УО
где (яо, Jfo) — некоторая фиксированная точка области Тогда имеем
Далее, по правилу Лейбница получим
м Ч , fSP(t,y),t п. . , fdQ(t,y)
ду -<?(««.») + / ПЙГ4«« = «(*., у) + / o(
Го хо
dt =
631 = Q{x0t у) + Q(x, у) - Q(xо, у) = Q{x, у).
