Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Назовем площадью поверхности Q величину
Поскольку уравнение поверхности имеет вид z = д(х,у), то нормаль ее в точке N поверхности Q можно представить в виде
„Ю)= Iim ±рц= Г f J^L
Icos7,1 JJ Icos7
3-І D
595 Следовательно, имеем
1
COS 7 = — :.
V^ + G/;)2 + (д'у)*
Отсюда получим
AQ) = Jj + Ш2 + (g'yVdxdy.
D
Итак, из не вполне строгих геометрических соображений мы получили формулу площади поверхности в трехмерном пространстве.
Далее мы дадим некоторое уточнение и обобщение этого понятия.
Определение 1. Поверхностью Q в п - мерном пространстве Rn называется множество точек {г}, г = ,..., rn), таких, что г = г(х), где X — (xi, Є D, причем область D является ограниченной и измеримой по Жордану, отображение г = г(х) есть взаимно однозначное отображение внутренних точек множества D на точки множества Qnr = f (ж) непрерывно всюду, за исключением множества L, имеющего нулевую меру Жордана.
Напомним, что отображение г = r(x) = (ri,...,rn) непрерывно в точке х, если непрерывны функции = rjt(x), к = 1,..., п.
Назовем отображение г(х) = (п(х),..., гп(х)) гладким, если для любой точки X € D функции г*(ж),/г = 1,.,.,п, имеют непрерывные частные производные (на границе 3D рассматриваются односторонние производные).
Замечание. Поверхность Q можно задать различными способами. Указанное выше задание поверхности Q называется параметрическим (или параметризацией множества Q). Выбор параметризации также может быть разным. При любых фиксированных значениях с і и с2 кривые на Q вида г = T1(Xi9C2) иг = г{с\,х2) называются криволинейными координатами на поверхности Q. Каждой точке г Є Q соответствует пара (ci,c2) криволинейных координат.
Определение 2. Поверхность Q называется гладкой, если задающее ее отображение г = г(х) является гладким. Гладкая поверхность называется невырожденной, если ранг матрицы Якоби отображения г — г (ж) максимален, а именно: он равен двум.
Мы стремимся определить меру, то есть понятие площади множеств на невырожденных поверхностях. Для этого сначала уясним какими свойствами должна обладать площадь или мера множества. Кроме обычных свойств меры (монотонность, аддитивность, инвариантность относительно ортогональных преобразований пространства, независимость от параметризации) необходимо, чтобы в случае
596 гз = 0,.. ., rn = О, то есть "плоского" отображения г = г(х), мы имели формулу
?(Q) = JJ \J?{x)\dxidx2,
D
r^e 'Jf(x) якобиан отображения r = r(x),
Згі Brx
дхі дхі
^m** дгх дГі
dx? дх2
Для простоты рассуждений предположим, что плоское множество D есть замкнутый квадрат. Тогда в этом случае мера ii(Q) образа D есть предел при Ат 0 интегральных сумм и(T) для разбиения T квадрата D на равные квадраты Dk і, к, I = 1, ..., п, со стороной h (Ii(Dktl) = V)l
п п
1-і
где XkJ левая нижняя вершина квадрата Dk j.
При выводе формулы площади фигуры Q мы видели, что число \Jr(xk,i)\v(Dkti) равно площади параллелограмма, в который переходит квадрат Dk i при замене отображения Af = г(?) — rfx^j) на линейное отображение р вида
р = р(х) = A(xkii)(x - xk}i) = dr(xk>i),
где A(xkj) — матрица Якоби отображения f = f(х) в точке х = xkj.
Итак, при вычислении n(Q) мы берем разбиение D на квадраты Dkii, а затем для каждого квадрата Dk j заменяем отображение Ar на линейное отображение dr(xkti). При такой замене мы можем сказать чему равна площадь образа. Сумма же полученных площадей по всем парам (k,l), k,l = 1,...,п, дает нам интегральную сумму с(Т).
Естественно ту же самую схему положить в основу определения площади поверхности Q и в общем случае, т.е. надо взять разбиение T квадрата D на равные квадраты Dk і, к, I — 1,..., п. Далее, заменить отображение Ar на линейное отображение р,
р = pkii (х) = dr(xkii), и просуммировать меры Rkj = p(Dki). Тогда мы получим
= e !>№.<>•
597 Определение 3. Если существует предел er(T) при Ат —> 0, то этот предел мы и будем называть площадью поверхности Q.
Осталось провести явное вычисление величины сг(Т) и найти ее предел fi(Q). Для этого заметим, что векторы ё\ = (Л,0) и ё2 = (O1 h) при отображении р = dr(xk,i) переходят в векторы
ai = р(еl) = h(
dri drn dxi' ' dx\
)
a2 = p(c2) = h(
dr\
drn
dx2' ' dx2
Теперь надо найти цлощадь параллелограмма, образованного векторами ut и a2. Для этого мы воспользуемся формулой из линейной алгебры, которая утверждает следующее
/і2 =
(ol, Ol), (ai, a2) E F
(as.ai), (a2,a2) F G
= EG-F'
Приведем простой вывод ее. Очевидно, формула площади параллелограмма, составленного из векторов а і и cl2i имеет вид
H = 1|аііі • \\а2 -
ai (аь «2) Ikil2
Преобразуем эту формулу. Получим
IHiIlV2 - (O2Ija1Jj2 - ai(ab a2), a2||ai||2 - ai(aba2)) = = IkjI4IIa2II2 -211^11^,02)2 + 11^112(01,02)2.
Следовательно,
V2 = i|ai||2||a2||2 - (ab a2)2 = EG-F2 = Г(х). Таким образом, будем иметь
п п
k=ii=i
Функция >/Г(ж) непрерывна на D1 поэтому существует предел
Iim о-(Т)= f [ s/Tfadx^ = h(Q)-Д-Г-+0 J J
