Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Из теоремы Хопфа следует, что векторные поля без особенностей возможны лишь на таких многообразиях, эйлерова характеристика которых равна нулю; на последних же многообразиях, как оказывается, всегда можно построить векторное поле без особенностей. Таким образом, из всех замкнутых поверхностей только на торе и так называемом
Рис. 21.
Рис. 22. 2J0
Глава XVIII. Топология
одностороннем торе (поверхности Клейна) можно построить векторное поле, не имеющее особенностей.
С теорией векторных полей тесно связана теория непрерывных отображений многообразий в себя' и особенно ее результаты, касающиеся существования неподвижных точек при таких отображениях. Точка х называется неподвижной точкой данного отображения /, если ее образ при этом отображении совпадает с самой точкой, т. е. если
/(х)=х.
Чтобы пояснить характер этой связи, рассмотрим простейший случай — случай непрерывного отображения / круга К в себя. Соединяя каждую точку X круга К с ее образом /(я), получим вектор ux=x,f(x). Этот вектор обращается в нуль тогда и только тогда, когда /(х)=х, т. е. когда х — неподвижная точка данного отображения. Докажем, что такая точка действительно существует. Для этого предположим противное и определим вращение нашего векторного поля вдоль окружности С круга К.
При непрерывном видоизменении нашего поля его вращение вдоль окружности С, очевидно, может меняться также лишь непрерывно. Являясь при этом целым числом, оно должно оставаться постоянным. Отсюда уже следует, что вращение поля вдоль окружности С равно 1. В самом деле, так как любая точка, принадлежащая кругу К, отображается в этот же круг, то для точки х, лежащей на окружности С, вектор Ux (согласно нашему предположению отличный от нуля) направлен внутрь круга и потому образует острый угол с радиусом Ох, который мы рассматриваем как вектор, направленный к центру О.
Подвергнем непрерывному видоизменению направления всех векторов Ux для точек х, лежащих на окружности С. Видоизменение это будет заключаться в том, что мы повернем все эти векторы на соответствующие острые углы так, чтобы они оказались направленными в центр О. Как было только что сказано, при этом вращение поля вдоль окружности С не изменится. Но в результате такого преобразования наше исходное поле перейдет на С в поле радиальных векторов, которое, очевидно, имеет вращение 1. Итак, наше первоначальное поле также имело вдоль окружности С вращение 1.
В силу непрерывности исходного векторного поля его вращение вдоль двух окружностей с одним и тем же центром О и мало отличающимися по длине радиусами имеет одно и то же значение Поэтому вращение поля вдоль всех окружностей с центром О, лежащих в круге К, имеет одно и то же значение, а именно 1. Но так как по предположению вектор Ux определен и отличен от нуля во всех точках круга, в том числе и в его
1 Вследствие предположенного отсутствия у отображения / неподвижных точек рассматриваемое поле всюду определено и отлично от нуля, это и позволяет говорить о его вращении вдоль любой кривой в круге К. § 6. Развитие топологии
205
центре О, вращение поля вдоль окружности достаточно малого радиуса с центром в О непременно равно нулю. Мы пришли к противоречию и доказали, таким образом, что при непрерывном отображении круга в себя. всегда имеется хотя бы одна неподвижная точка. Эта теорема является частным случаем весьма важной теоремы Брауэра, утверждающей, что при всяком непрерывном отображении в себя n-мерного шара имеется хотя бы одна неподвижная точка.
В настоящее время вопрос о существовании неподвижных точек при отображении тех или иных типов детально изучен и составляет существенную часть топологии многообразий.
§ 6. РАЗВИТИЕ ТОПОЛОГИИ
Топология замкнутых поверхностей — единственная область топологии, которая была более или менее разработана уже к концу прошлого столетия. Построение этой теории было связано с развитием в течение XIX в. теории функций комплексного переменного. Эта последняя, составляя одно из значительнейших явлений в истории математики прошлого века, строилась несколькими различными методами. Одним из наиболее плодотворных в смысле понимания существа изучаемых явлений оказался геометрический метод Римана. Метод Римана, с большой убедительностью показавший, что в общей теории функций комплексного переменного невозможно ограничиться одними лишь однозначными функциями, привел к построению так называемых римановых поверхностей. Эти поверхности в простейшем случае алгебраических функций комплексного переменного всегда оказываются замкнутыми ориентируемыми поверхностями. Изучение их топологических свойств в известном смысле эквивалентно изучению данной алгебраической функции. Дальнейшее развитие идей Римана было произведено Пуанкаре, Клейном и их последователями и привело к установлению неожиданных и глубоких связей между теорией функций, топологией замкнутых поверхностей и неэвклидовой геометрией, а именно— теорией группы движений на плоскости Лобачевского Ч Таким образом, впервые топология оказалась органически включенной в целый сгусток принципиально значительных проблем, относящихся к весьма различным областям математики.
