Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
13
II. Аксиомы умножения.
1) ab = ba (коммутативность),
2) a (be) = (ab) с (ассоциативность),
3) уравнение
ау = Ь,
где а 0, имеет единственное решение (существование обратной операции).
Из этих аксиом вытекает, что имеет смысл выражение abc, что •существует рациональное число 1, для которого а • 1 = а и что для рациональных чисел, отличных от 0, существует обратная операция — деление. Все рациональные числа, исключая число 0, образуют коммутативную группу по отношению к операции умножения.
III. Аксиома дистрибутивности.
1) (a b ) с = ас -f- be.
Все аксиомы I—III показывают, что по отношению к операциям сложения и умножения рациональные числа образуют так называемое алгебраическое поле.
IV. Аксиомы упорядоченности.
1) Для любых двух рациональных чисел а и Ъ имеет место одно и только одно из трех соотношений: либо а <^Ь, либо а^>Ь, либо а = Ь.
2) Если а<^Ь и 6 с, то а
3) Ii ели а<^Ь, то а с <^Ь с (монотонность сложепия).
4) Если а <[ b и с > 0, то ас <^Ьс (монотонность умножения на с> 0).
Все эти аксиомы позволяют назвать множество рациональных чисел упорядоченным полем.
Кроме рациональных чисел, существуют и другие системы объектов, которые удовлетворяют этим аксиомам и, следовательно, являются упорядоченными полями.
Отметим два важных свойства рациональных чисел.
Плотность: для любых а и 6, а <С Ь, найдется такое с, что ,а <[ с < b.
Счетность: множество всех рациональных чисел счетно ,(см. § 2).
Об измерении величин. Недостаточность одних лишь рациональных чисел для математики проявляется уже при рассмотрении такой важной задачи, как задача об измерении величин. Мы рассмотрим ее на простейшем примере задачи об измерении длин отрезков.
Представим себе прямую, на которой отмечены определенное направление, начало отсчета (точка 0) и единица масштаба. Тогда
112 1
ПОНЯТНО, ЧТО такое отрезок OA С КОНЦОМ B точке -й- -Я---
* Zoo О
и т. д. Вообще, каждому рациональному числу а можно поставить в соответствие точку А на прямой, а именно точку с координатой 14
Глава XV. Теория, функций действительного переменного
Z = а. В таком случае число а определяет длину направленного отрезка OA. Однако при такой конструкции длина не всякого отрезка измеряется некоторым (рациональным) числом. Например, как это было известно уже древним грекам, длина диагонали квадрата со стороной, равной единице, не измеряется никаким рациональным числом. Иначе говоря, точек на прямой больше, чем рациональных точек. Естественный выход из этого положения — установление взаимно однозначного соответствия между числами и длинами, т. е. дальнейшее расширение понятия числа.
Действительные числа. Мы пришли к выводу, что одних рациональных чисел для измерения величин недостаточно и что понятие числа должно быть расширено таким образом, чтобы между числами и точками на прямой существовало взаимно однозначное соответствие. G этой целью постараемся выяснить, нельзя ли определить положение произвольной точки на прямой при помощи одних лишь рациональных точек. Аналогичная конструкция в области рациональных чисел и приведет нас к понятию действительного числа.
Пусть ос— произвольная точка на прямой. Тогда все рациональные точки а можно разделить на две части: к одной части отнесем все те точки а, которые расположены левее ос, а к другой — те точки а, которые находятся правее ос. Что же касается самой точки а (если она случайно оказалась рациональной), то ее можно отнести к любой из частей. Такое разбиение рациональных точек принято называть сечением. Сечения будем считать тождественными, если совокупности рациональных точек, входящих в левые и правые части сечений, совпадают (с точностью до одной точки). Теперь нетрудно видеть, что различные точки а и ? определяют разные сечения. В самом деле, так как рациональные точки расположены на прямой всюду плотно, то найдутся рациональные точки г1 и г2, расположенные строго между ос и ?. Тогда для одного сечения они попадут в его правую часть, а для другого — в левую.
Итак, каждая точка на прямой определяет сечение в области рациональных точек и разным точкам соответствуют разные сечения. Очень важно, что сечения можно определить и несколько иначе, чем это было сделано выше, и притом так, чтобы само число а не фигурировало в этом определении. Именно, будем называть сечением в области рациональных точек такое разбиение всех рациональных точек на два непустых непересекающихся множества А и В, таких, что а <С Ь для любых а ? А, Ь?В. При таком определении по сечению можно однозначно восстановить ту точку (рубеж), которая производит его. Иными словами, при помощи сечений в области рациональных точек можно определить [любую точку на прямой. Изложенная конструкция была предложена немецким математиком Р. Дедекиндом и носит название дедекиндоеа сечения. § 3. Д ействительтле числа
15
Сечения — не единственный возможный способ определения положения любой точки при помощи рациональных точек. К обычной практике измерений ближе лежит следующий способ Г. Кантора. Пусть снова ос — произвольная точка на прямой. Тогда можно найти две сколь угодно близкие рациопальные точки а и Ь, такие, что а заключено между а и 6. Точки а и 6 определяют приближенно положение точки а. Представим себе этот процесс приближенного определения ТОЧКИ ОС неограниченно продолженным, и притом так, что на каждом следующем шаге его точность все более и более увеличивается. Тогда мы получим систему отрезков [ая, 6В] с концами в рациональных точках, таких, что [ая+1, 6в+1]С[ав, 6В] и b„ — а„->0 (га-> со). Система отрезков, удовлетворяющая этим условиям, называется стягивающейся системой отрезков. Ясно, что такая система отрезков однозначно определяет положение точки а.
