Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
где P— ортогональная матрица.
Сделаем в квадратичной форме AX ¦ X переход к новым переменным. В новых переменных квадратичная форма будет иметь коэффициенты a' = Afi ¦ f.. Следовательно,
аи = Afi ¦ /i = \fi • /і =
Jlj = Ofjl= Af1-fJ = Ij1-f} = 0 при /V= 1, § 6. Функции от матриц и некоторые их приложения
89
т. е. форма имеет вид
V?+?(*;, ---'K)-
Итак, за счет ортогонального преобразования нам удалось выделить один квадрат новой переменной.
Проведя те же рассуждения с новой формой f(x'2, ---і х'п) и т- Д-> мы придем в конце концов к тому, что форма посредством цепочки ортогональных преобразований окажется приведенной к каноническому виду. Но очевидно, что цепочка ортогональных преобразований равносильна одному ортогональному же преобразованию. Тем самым теорема доказана.
§ 6. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Функции от матриц. Приложения линейной алгебры к другим отделам математики весьма многочисленны и разнообразны. Не будет преувеличением сказать, что в большей части современной математики и теоретической физики в той или иной форме используются идеи и результаты линейной алгебры, главным образом в форме исчисления матриц.
Рассмотрим коротко один из путей приложения исчисления матриц к теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь важную роль играют функции от матриц.
Прежде всего определим степень квадратной матрицы А. Положим A0 = E, A1 = A, A2 = AA, A3 = A2A, Ai = A3A и т. д. При помощи сочетательного закона легко доказать, что AmAn = Am+п для любых натуральных man. Для матриц были определены действия сложения и умножения на число. Это дает возможность естественным образом определить значение многочлена (от одной переменной) от матрицы. Именно, если <р (X) = а0х" -(- а,як_1 -)- ... -(- ап, то положим (по определению) <р(^4) = а0Л"-1-я1Ли+1+ ... -\-а„Е. Таким образом определяется понятие наиболее простой функции от матричного аргумента — многочлена.
Посредством предельного перехода легко обобщить понятие функции от матричного аргумента на значительно более широкий класс функций, чем многочлен от одной переменной. Не касаясь этого вопроса во всей его общности, ограничимся рассмотрением аналитических функций.
Прежде всего введем понятие предела последовательности матриц. Последовательность матриц
A1=I ¦•••), ^2 = • ¦
\ л(1) л(1) / \ л(2) л(2) і
\ . . . а,т / \ аи1.. . а,м I
'aIl-
называется сходящейся к матрице .4=1----1 (или имеющей пре- 90
Глава XVI. Линейная алгебра
делом матрицу .4), если Iim ау — аі;- для всех i, /. Далее, суммой
It-J-QO
ряда A1 -)- A2 -f- ... -)- -4? -J- . • - называется предел сумм его отрезков Iim (A1 -J- A2 -J-•¦ ¦ -J- Ak), если этот предел существует. Ic-^oo
Пусть /(z) есть аналитическая функция, регулярная в окрестности z = 0. Тогда, как известно, /(z) разлагается в степенной ряд
/ (Z) = «О + aIz + O2Z2 + • • • + %Z* -J- . . . Для любой квадратной матрицы А естественно положить
/ (А) = а0Е + а,А + а2А* + . . . + акАк+ ...
Оказывается, что такой ряд сходится для всех матриц А, собственные числа которых лежат внутри круга сходимости степенного ряда a0 -f- a,z -J- .. . + akzk+ . . .
В приложениях представляют интерес элементарные функции от матриц.
Так, например, геометрическая прогрессия E + А -)- A2.. . -J-+ Ak-J-... является сходящимся рядом для матриц, модули собственных чисел которых меньше 1, и суммой этого ряда является матрица (Е— А)"1, что находится в полном соответствии с формулой
1+Z-J-... = ^.
Представление (E — 1 в виде бесконечного ряда дает эффективное средство для приближенного решения систем линейных уравнений, матрицы коэффициентов которых близки к единичной. Действительно, записав такую систему в форме
(E-A)K = B,
получим
X = (E-A)-1B = B +AB +A2B + ..., (15)
что дает удобную формулу для решения системы, если только ряд (15) сходится достаточно быстро.
Полезно рассматривать биномиальный ряд
(Е + А)т = Е+ ™ А + m<m2~1> А*+ ...,':
который можно применять (если собственные числа А по модулю меньше 1) не только для натуральных показателей т, но и для дробных и отрицательных.
Особенно важной для приложений является показательная функция от матрицы § 6. Функции от матриц и некоторые их приложения
91
Ряд, определяющий показательную функцию, сходится при любой матрице А. Показательная функция от матриц обладает свойствами, напоминающими свойства обычной показательной функции. Так, если А и В коммутируют при умножении, т. е. AB = BA, то еА+в=еА • ев-Однако при некоммутирующих А и В формула перестает быть верной.
Приложение к теории систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. В теории систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений целесообразно рассматривать матрицы, элементы которых являются функциями от некоторой независимой переменной:
Ze11 (/)...«„ (/)'
tf<0= .....
\am(t)...amn (t)j
Для таких матриц естественным образом определяется понятие производной по аргументу t. Именно:
«її (0- • -ain(t)'
