Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Взаимно однозначные преобразования. При рассмотрении всевозможных преобразований одного и того же множества прежде всего замечается фундаментальное различие между взаимно однозначными отображениями множества на себя и отображениями не взаимно однозначными. Преобразование А множества M называется взаимно однозначным отображением этого множества на себя, если не только каждому элементу множества M отвечает определенный единственный элемент множества М, — это содержится в определении преобразования, — но если также для каждого элемента у множества M существует один и только один элемент х, который переходит в элемент у. Иными словами, преобразование А является взаимно однозначным, если «уравнение» XА = у для каждого у из M имеет одно и только одно «решение» хв М.
Все рассмотренные выше преобразования пространств — отражения, повороты и переносы — являются взаимно однозначными, так как при этом не только для каждой точки X существует точка, в которую X переходит, но также существует единственная точка, которая переходит в X.
Легко привести и противоположные примеры; так, преобразование множества чисел 1,2,3,4, заданное таблицей 1 2 3 )' НЄ ЯВ~
ляется взаимно однозначным, так как при нем в число 4 ничто не переходит. Преобразование множества всех натуральных чисел 1, 2, 3, . . . ,
значным. Хотя здесь для каждого числа п имеется число 2п, которое в него переходит, но число 2п не единственное, обладающее этим свойством, поскольку 2п — 1 также переходит в п. Вообще для преобразований, заданных таблицами, очень легко установить признак, при котором преобразования будут взаимно однозначными. Для этого, очевидно,
заданное
также не является взаимно одно- 254
Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы
необходимо и достаточно, чтобы в нижней строке таблицы встречался каждый элемент множества и притом только один раз.
Иногда в математике рассматривают и не взаимно однозначные преобразования. Например, известно, какое большое значение имеет операция проектирования пространства на плоскость. Это преобразование не взаимно однозначпое, так как при нем в каждую точку проектируется не одна, а целый ряд точек пространства. Но в большинстве случаев приходится иметь дело лишь с взаимно однозначными преобразованиями; эти преобразования, в частности, играют основную роль, когда рассматриваются физические процессы, при которых элементы изучаемой системы не сливаются друг с другом, не уничтожаются и не возникают.
В дальнейшем, говоря о преобразованиях, мы будем подразумевать преобразования взаимно однозначные; их часто называют также подстановками, особенно в случаях, когда речь идет о преобразованиях конечного множества.
Для каждого (взаимно однозначного) преобразования А множества M на себя легко определить обратное преобразование А~г. Если преобразование А переводит произвольный элемент х множества M в элемент у, то преобразование, переводящее элемент у в х-, называется обратным преобразованию А и обозначается А-1. Например, если
^=(JiIl)' то ^-1 = (і 23І) = (Ii It)' есЛИ А~ П0В°Р°Т пространства вокруг оси на угол <р, то А~г — поворот вокруг той же оси на угол <р в противоположном направлении, и т. д.
Иногда может случиться, что обратное преобразование будет совпадать с данным. Таким свойством, в частности, обладают отражения относительно плоскости или точки в пространстве. Тем же свойством
обладает подстановка ^ = (1234)' ТЭК КЭК -^-1 1 4з)= (і 2З4)*
Заметим, что говорить об обратном преобразовании для преобразований не взаимно однозначных нельзя, так как эти преобразования в отдельные элементы могут или ничего пе переводить или переводить несколько элементов.
Общее определение симметрии. В математике и ее приложениях очень редко возникает потребность рассмотрения всех преобразований данного множества. Дело в том, что сами множества редко приходится мыслить только как простое объединение своих элементов, ничем не связанных друг с другом. Это и естественно, так как множества, рассматриваемые в математике, являются отвлеченными образами реальных совокупностей, элементы которых всегда находятся в бесконечном числе взаимосвязей друг с другом и в связях с тем, что находится за пределами рассматриваемого множества. При этом в математике приходится отвлекаться от большей части этих связей, но наиболее суще- § 2,. Симметрия и преобразования
255
ственные сохранять и учитывать. Это заставляет в первую очередь рассматривать такие преобразования множеств, которые не нарушают тех или иных учитываемых связей между элементами. Такие преобразования часто называют допустимыми преобразованиями или автоморфизмами по отношению к учитываемым связям элементов множества. Например, для точек пространства важным является понятие расстояния между двумя точками. Наличие этого понятия учитывает связь между точками, заключающуюся в том, что любые две точки находятся на определенном расстоянии одна от другой. Преобразованиями, не нарушающими этих связей, являются такие преобразования, при которых расстояния между точками не изменяются. Эти преобразования называются «движениями» пространства.
