Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
где Л — вспомогательная неизвестная, именуемая множителем Лагранжа;
2) найти частные производные
F' F' Fx-
приравнять каждую из них нулю и решить полученную систему трех уравнений с тремя неизвестными ж, у и Л.
В результате решения системы будут получены точки, в которых функция может иметь условный экстремум, но может и не
320
Гл. 15. Оптимизационные задачи
иметь его в найденных точках, так как система выражает только необходимое условие экстремума.
V Пример. Исследовать на экстремум функцию
z = х2 + 6х -2у + 1
при условии, что переменные х и у связаны уравнением
х2 + у - 4 = 0.
Решение. Первый способ решения. Уравнение связи представляет уравнение параболы у = 4 — х2. Заменив в заданной функции z переменную у через 4 — ж2, получим
z(x) = х2 + 6 х - 2 (4 - х2) + 1,
или
z(x) = 3 х2 + 6 х — 7. Полученную функцию z(x) исследуем на экстремум.
^- = Qx + 6; 6ж + 6 = 0;
ах
xq — стационарная точка функции z(x). Находим вторую производную:
Так как вторая производная положительна, то в найденной стационарной точке функция z(x) имеет минимум. Подставив xq = — 1 в уравнение связи, получим
2/0 = 4-1 = 3.
Следовательно, точка Pq(—1, 3) — точка условного экстремума. В этой точке функция z(x, у) имеет минимум:
Zmin = z(-1, 3) = 1- 6- 6+1 = -10.
Второй способ решения. Определим теперь точку условного экстремума, пользуясь методом множителей Лагранжа.
1) Составляем вспомогательную функцию Лагранжа. Так как по условию
z = x2 + 6x-2y-\-l, g(x, у) = х2 + у - 4 = 0,
то
F(x, у, X) = х2 + 6х -2у + 1 +А - (х2 + у -4).
15-4- Условный экстремум
321
2) Находим частные производные
F'x = x2 + y-A.
3) Приравняв каждую частную производную нулю, получаем систему:
'2х + 6 + 2\х = 0, < -2 +А = 0, х1 + у - 4 = 0.
Из второго уравнения А = 2, тогда из первого уравнения следует х = — 1, а из третьего у = 3. Таким образом, Ро(—1, 3) — единственная точка, которая может быть точкой условного экстремума. Большего метод Лагранжа не дает. В этом смысле первый способ решения предпочтительнее. А
Задача. Исследовать на экстремум функцию
z = 2х2 + у2
при условии, что переменные х и у связаны уравнением
х + у- 2 = 0.
Ответ: zm-m = z(-2, 4) = 24.
Метод множителей Лагранжа может быть использован и при исследовании на экстремум функции большего числа переменных.
Пусть задана функция трех переменных и = f(x, у, z), где переменные ж, у, z связаны между собой уравнением
д(х, у, z) = 0.
В этом случае вспомогательная функция Лагранжа имеет вид
F(x, у, z, А) = f(x, у, z) + Хд(х, у, z).
Переменные ж, у и z могут быть связаны двумя уравнениями связи:
9i(x, у, z) = 0, ?2(ж, V, z) = 0.
11 Я. М. Ахтямов
322
Гл. 15. Оптимизационные задачи
Тогда функция Лагранжа имеет вид
F(x, у, z, Аь Л2) = f(x, у, z) + \igi(x, у, z) + Л2#2(ж, у, z).
15.5. Метод наименьших квадратов
В социально-экономических науках одной из важнейших задач является задача определения аналитических зависимостей между различными величинами. Получение соответствующих формул позволяет лучше понять ситуацию и спрогнозировать как она будет меняться в будущем.
Одним из наилучших способов получения таких формул — это метод наименьших квадратов.
Изложим идею этого способа.
Пусть мы хотим установить зависимость между двумя величинами х и у. Произведем соответствующие статистические исследования и занесем их результаты в таблицу:
XI х2 х3 Xi
У1 У2 Уз Уг Уп
Требуется наилучшим образом отразить общую тенденцию зависимости у от ж, исключив при этом случайные отклонения, связанные с неизбежными погрешностями статистических наблюдений. Такую зависимость стремятся представить в виде формулы у = f(x).
Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных, получили название эмпирических формул.
Задача нахождения эмпирических формул разбивается на два этапа. На первом этапе нужно установить вид зависимости у = /(ж), т. е. решить является ли она линейной, квадратичной, логарифмической или какой-либо другой. Для выбора функции у = f(x) привлекаются соображения нематематического характера (теоретические предпосылки, соображения экспертов и т. п.), а также характер расположения точек {xi,yi) на плоскости.
Если вид функции у = f(x) установлен, то переходят ко второму этапу — определению неизвестных параметров этой функции. Например, для зависимости у = ах + b неизвестными параметрами являются а и Ь. В методе наименьших квадратов в качестве неизвестных параметров выбирают такие значения, чтобы сумма квадратов отклонений теоретических значений f{xi)1
15.5. Метод наименьших квадратов
323
У
Xi Х2 Ж3 ... Xi ... хп Рис. 15.4. Метод наименьших квадратов
найденных по эмпирической формуле у = /(ж), от соответствующих опытных значений yi, т- е-
t=l
У г)
была минимальной.
Числа f(xi) — yi будем обозначать Si и называть погрешностями (рис. 15.4).
На языке погрешностей метод наименьших квадратов состоит в следующем: нужно подобрать неизвестные параметры так, чтобы сумма квадратов погрешностей была возможно меньшей. Если эта минимальная сумма квадратов окажется малой, тогда и сами погрешности будут малыми по абсолютной величине.
