Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
В механическом смысле частная производная показывает, во сколько раз быстрее изменяется функция по сравнению с изменением аргумента, когда второй аргумент зафиксирован.
Частная производная от производственной функции показывает отзывчивость функции выхода продукта. Другими словами, в экономическом смысле частная производная есть количество продукции, приходящееся на единицу величины одного фактора, при условии, что второй фактор остается постоянным.
Поскольку определение частной производной вполне сходно с определением производной для функции одной переменной, теоремы о производных соответствуют и частным производным функции двух переменных.
Так как частная производная по любой переменной является производной по этой переменной, найденной при условии, что другая переменная постоянна, то правила дифференцирования функций одной переменной применимы для нахождения частных производных двух переменных.
V Пример 1. Найти первые частные производные функции z = х3у2 + 4 х — у3 + 5.
Решение. Чтобы найти частную производную по ж, принимаем у за постоянную и находим производную по х:
z'x = (х3у2 + 4х-уз + 5)'х = у2 (я3)/ + 4ж/-0 + 0 = Зж2у2 + 4.
Ц.З. Частные производные первого порядка
287
(Производную (y3)fx приняли равной нулю, поскольку у считаем постоянным числом. В первом слагаемом постоянную у2 вынесли за знак производной.)
Чтобы найти частную производную по у, принимаем х за постоянную и находим производную по у:
zfy = (x^y2 + 4x-ys + 5)'у = х3 (у2)' + 0 - (у3)' + 0 =
= 2х3у - Зу2. А
V Пример 2. Найти первые частные производные функции z = 9xy2+4x2-y + 102.
Решение. Чтобы найти частную производную по ж, принимаем у за постоянную и находим производную по х:
zfx = (9xy2 + 4,x2-y + 102)'ж = 9 у2 • х + 4(ж2)' - 0 + 0 =
= 9у2 + 8х.
Чтобы найти частную производную по у, принимаем х за постоянную и находим производную по у:
z'y = (9ху2 + 4х2-у + 102)'у = 9х(у2)' + 0 - у' + 0 = 18ху - 1. А
V Пример 3. Найти первые частные производные функции z = 9xy2+4:x2-y + 102 в точке Р(—1, 2).
Решение. В предыдущем примере было найдено z'x{x, у) = %х + 9у2, z'y(x, у) = 18ху-1. Вычислим значения этих производных в точке Р(—1, 2): 4(-1, 2) = 8 (-1) + 9 • 22 = -8 + 36 = 28, 4(-1, 2) = 18-(-1)-2-1 = -37. А
V Пример 4. Найти первые частные производные функции z = ех In у + cos у — ех + 2.
Решение. Чтобы найти частную производную по ж, принимаем у за постоянную и находим производную по х:
z'x = (ех In у + cos у — sin х + 2)х =
= (ex)f In у + 0 - (sin х)' + 0 = ех In у - cos ж.
288
Гл. Ц. Частные производные
Чтобы найти частную производную по у, принимаем х за постоянную и находим производную по у:
z!y = (ех In у + cos у — sin х + 2)'у =
= ех (In уУ + (cos уУ - О + 0 = ех/у - sin у. А
Задача. Найти первые частные производные функции z = = ху - х2 -2у2 + х + 10 у -8 в точке Р(2, 0).
Ответ: 4(2, 0) = -3, z'y(2, 0) = 12.
14.4. Полный дифференциал
Полным приращением Az функции
z = f(x, у)
называется разность f(x + Ах, у + Ay) — f(x, у), где Ах и Ау — соответствующие приращения аргументов х и у:
Az = f(x + Ах,у + Ay) - f(x, у).
Будем говорить, что функция имеет непрерывные частные производные в точке М(х,у), если z = f(x,y) имеет частные производные zx(х, у), zy (х, у) в окрестности точки (х,у), причем эти производные непрерывны в самой точке (х,у). Такая функция является дифференцируемой в точке (х,у). (Вообще же, понятие дифференцируемости шире, чем существование непрерывных частных производных. Однако практически все функции, рассматриваемые в социально-экономической сфере, обладают непрерывными частными производными. Поэтому точного определения дифференцируемости нам не понадобится.)
Полным дифференциалом функции z = f(x, у) называется выражение dz, которое вычисляется по формуле
dz = z'x Ах + z'y Ay.
Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, то есть dx = Ах ndy = Ау (проверьте!). Поэтому формулу полного дифференциала можно записать так:
dz = z'xdx + z' dy.
14-5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
289
Произведение частной производной на приращение (дифференциал) аргумента х называется частным дифференциалом и обозначается dxz. Аналогично определяется частный дифференциал по аргументу у:
dx z = z'x dx, dy z = Zy dy,
т. е. полный дифференциал dz равен сумме частных дифференциалов dxz и dyZ.
V Пример. Найти полный дифференциал функции z =
= л/х2 + у2 .
Решение. Имеем
- х - у
V# +2/ yxz + yz
и,следовательно,
х у
dz = - dx Н-- dy. А
ух2 + у2 л/х2 + у2
Аналогично определяется и вычисляется полный дифференциал любого числа переменных.
14.5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
В п. 7.1 было дано определение касательной к кривой как предельного положения секущей.
Похожим образом определяется касательная плоскость.
Плоскость, проходящая через точку Mq поверхности, называется касательной плоскостью в данной точке, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку Mq и любую точку поверхности, стремится к нулю, когда точка М стремится по этой поверхности к точке Mq.
