Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Множество действительных чисел дополняют двумя элементами, обозначаемыми — оо и +оо и называемыми минус бесконечность и плюс бесконечность. Множество Е, дополненное элементами — оо и +оо, называется расширенным множеством действительных чисел (расширенной числовой прямой) и обозначается Е. Бесконечности — оо и +оо называют еще бесконечно удаленными точками.
Предполагается, что для бесконечно удаленных точек справедливы следующие правила:
х ± оо = ±оо;
±00
х • (±оо) = ±оо, если х > 0; х • (±оо) = =Foo, если х < 0.
20
Гл. 1. Функция
Порядок на Е естественный: всякое действительное число меньше +оо и больше —оо, т.е. если х Е Е, то —оо < х < +оо. Полезно представлять, что — оо на числовой прямой находится левее всех чисел, а +оо — правее всех чисел.
Иногда множество действительных чисел дополняют одним элементом, обозначаемым оо и называемым бесконечностью или бесконечно удаленной точкой.
Множество X, элементы которого удовлетворяют:
- неравенству а ^ х ^ 6, называется отрезком (или сегментом) [а; 6];
- неравенству а < х < b — интервалом (а; 6);
- неравенствам а ^ х < b или а < х ^ b — полуинтервалами соответственно [а; Ь) и (а; Ь].
Наряду с этим рассматриваются бесконечные интервалы и полуинтервалы (—оо;6), (а;+оо), (—оо,+оо), (—оо;6], [а;+оо).
В дальнейшем все указанные множества мы объединяем термином промежуток X.
Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа х называется само число ж, если х неотрицательно, и число —ж, если х отрицательно:
Заметим, что из определения следует неравенство \х\ ^ 0. Отметим свойства абсолютных величин:
к + у\ < \х\ + \у1 \ху\ = \х\ \у1
I I ^ I I I I х \х\ \х-у\> \х\ - \уи - = Т\'
у \у\
Интервал (а — ?, а + б), т. е. множество точек, таких, что
где е > 0, называется е-окрестностью точки а.
1.2. Понятие функции
Когда мы наблюдаем какой-нибудь процесс или явление из области экономики, области социальных наук или другой области знаний, то видим, что одни величины сохраняют свои значения, другие же принимают различные значения.
ж, если х ^ 0, —ж, если х < 0.
х — а\ < ?,
1.2. Понятие функции
21
Переменной величиной называется такая величина, которая при выполнении некоторого комплекса условий, может принимать различные значения.
Постоянной величиной называется такая величина, которая при выполнении некоторого комплекса условий, сохраняет одно и то же значение.
Отметим, что выполнение комплекса условий является очень важным. Так, одна и та же величина может быть переменной или постоянной в зависимости от того, в каких условиях она рассматривается. Например, цена на хлеб (и некоторые другие продукты) в условиях рыночной экономики является величиной переменной. В условиях жесткого планирования экономики цена на хлеб может держаться на одном уровне и быть постоянной величиной (в 70-е годы цена на хлеб была постоянна, буханка серого хлеба стоила 16 коп.).
Переменные величины обычно обозначаются последними буквами латинского алфавита (х, у, z, и, v, w), а постоянные — первыми (а, 6, с).
Изучая какое-нибудь явление, мы обычно имеем дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой так, что каждым значениям одних величин соответствуют значения других. Так, например, ясно, что:
1) каждому значению цены товара соответствует определенная величина спроса;
2) каждому значению объема производства соответствует определенная величина издержек;
3) каждому году соответствует сумма накопившегося денежного вклада в Сбербанке;
4) числу членов научного коллектива соответствует его продуктивность.
Во всех этих примерах общим является то, что каждому числовому значению одной величины сопоставляется определенное числовое значение другой.
Дадим теперь определение понятия функции, являющегося центральным понятием математического анализа, причем вначале ограничимся случаем двух переменных величин.
Пусть даны два множества X и Y.
Определение. Правило /, сопоставляющее каждому числу х Е X единственное число у EY, называется функцией, заданной на множестве X и принимающей значения в множестве Y.
22
Гл. 1. Функция
Термин «функция» происходит от латинского слова functio — исполнение, осуществление.
Задать функцию — значит задать три объекта: 1) множество X, 2) множество У, 3) правило /. О функции / говорят, что она действует из X в Y и пишут: / : X —> Y.
Иногда функцией называют также уравнение у = f(x), т.е. формулу, где у выражено через х с помощью правила /. В уравнении у = f(x) переменную х называют независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной. О величинах х и у говорят, что они связаны функциональной зависимостью.
Множество всех значений независимой переменной, для которых определена функция (т. е. при которых функция у = f(x) вообще имеет смысл), называется областью определения или областью существования этой функции, обозначается D(f).
Множество всех значений функции называется областью значений функции и обозначается E(f).
Например, областью определения функции у = 3 х2 является множество всех действительных чисел, а областью значений — множество х ^ 0; областью определения функции у = = In (х — 1) является полупрямая х > 1, областью значений — множество всех действительных чисел; областью определения функции у = л/1 — х2 является отрезок — 1 ^ х ^ 1, областью значений — отрезок 0 ^ х ^ 1.
