Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Решение. Будем решать задачу сразу в общем виде без рассмотрения предварительных проектов. Обозначим ширину прямоугольного участка через ж, а длину через у.
Из условий задачи следует, что х Е (0, +оо) (сторона прямоугольника неотрицательна).
Поскольку площадь участка равна 294 кв. м, то х у = S = 294. Отсюда получаем, что у = 294/ж, а общая длина Р всей ограды равна
Р(х) = 3х + 2у = Зх + 2- 294/ж.
Таким образом, длина всей ограды представляет собой функцию от одной переменной ж, и задача сводится к нахождению наименьшего значения этой функции в интервале (0, +оо).
Каково же наименьшее значение функции? Если в открытом интервале имеется лишь одна критическая точка, которая
154
Гл. 9. Исследование функций
является точкой локального минимума, то именно она и будет наименьшим значением функции в рассматриваемом интервале.
Проверим, имеет ли функция Р(х) критические точки в интервале (0,+оо). Для нахождения критических точек следует предварительно найти производную функции. Найдем ее.
Р'(х) = (3 х + 2 • 294/ж)' = 3 - 2 • 294ж-2 = (3 х2 - 588)/х2.
В интервале (0, +оо) выражение (Зх2 — 588)/х2 всегда имеет смысл, значит, для функции Р(х) нет точек, в которых ее производная бесконечна или не существует. Проверим, не обращается ли где-нибудь производная Р'(х) в нуль. Для этого приравняем выражение (Зх2 — 588)/х2 к нулю. Дробь равна нулю, когда ее числитель обращается в нуль. Поэтому 3 х2 — 588 = 0. Последнее уравнение имеет два решения х = —14 и х = 14. Значение х = = —14 не входит в рассматриваемый интервал. Поэтому в интервале (0, +оо) у функции Р(х) имеется лишь одна критическая точка х = 14.
Проверим является ли эта критическая точка точкой минимума. Значение х = 14 входит в рассматриваемый интервал и разбивает его на два интервала (0, 14) и (14, +оо), в которых производная не меняет знак. Поэтому, выбирая в каждом из полученных интервалов произвольную точку, определяем знак производной в них. В первом интервале производная оказывается отрицательной (в этом интервале функция строго убывает), а во втором интервале производная положительна (здесь функция строго возрастает). Так как при переходе через точку х = 14 производная меняет знак с минуса на плюс, то, согласно первому правилу отыскания экстремума, функция имеет в этой точке строгий локальный минимум. Отсюда следует, что в точке х = 14
достигается наименьшее значение I I функции Р(х) в интервале (0,+оо).
Практически же это означает, что 14 м наименьшее количество материала на ограду участка будет истрачено при ширине забора 14 м. Найдем длину 21 м участка, когда ширина равна 14 м:
Рис.9.9. Ограда с пере- у = 294/ж = 294/14 = 21 (м).
городкой
Таким образом, размеры ограды должны быть 21 х 14. Именно при таких размерах участка расходы строительного материала будут наименьшими. Общая
9.4- Разыскание оптимальных значений функций
155
длина оптимальной (наиболее экономичной) ограды равна 2-21 + 3-14 = 42 + 42 = 84 (м).
Заметим, что ограды, огораживающие квадратный участок, или же участок, составленный из двух квадратов, не являются оптимальными.
Действительно, в случае квадрата имеем:
х = у, S = ху = х2, х = л/294 « 17,146, Р = 2 х + 3 у « 5 • 17,146 = 85,73,
т. е. общая длина ограды в этом случае больше 84 м. Для случая двух квадратов имеем:
у = 2ж, S = ху = 2х2, х = у/294/2 « 12,124, Р = 2 х + 3 у « 8 • 12,124 = 96,992.
Общая длина ограды в этом случае еще больше. А
Задача 1. Требуется огородить забором прямоугольный участок земли площадью S м2 и затем разделить его на п частей п — 1 перегородками, параллельными меньшей стороне участка. Каковы должны быть размеры участка (ширина х и длина у), чтобы на постройку забора и перегородок было израсходовано наименьшее количество материала.
Указание. Площадь S равна х у, откуда у = S/x. Подставляя это выражение для у в формулу вычисления периметра (общей длины ограды с перегородками) Р = (n + 1) • ж + 2у, получим Р(х) = (n + 1) • ж + 2S j х.
Ответ: Наименьшее значение в интервале (0, +оо) эта функция принимает в точке ж = у/2 S/ (п + 1) .
Рассмотренные выше примеры представляют задачи на нахождение наименьшего значения. Ниже рассматривается прикладная задача на отыскание наибольшего значения.
V Пример 3 (Задача Дидоны). Из имеющихся досок можно сделать забор длиной /. Как этим забором огородить прямоугольный двор наибольшей площади, используя в качестве одной стороны стену прилегающего здания (рис. 9.10)?
156
Гл. 9. Исследование функций
x
1-2х Рис. 9.10. Задача Дидоны
Решение. Пусть две стороны забора имеют длину х (0 < < х < 1/2); тогда третья сторона имеет длину I — 2х. Площадь двора S(x) = (I — 2 х) х = — 2 х2 + I ж, откуда S'(x) = = — 4х + /. Функция Sf(x) существует и конечна для всех х из интервала (0, 1/2). Поэтому единственной критической точкой в интервале (0, 1/2) является точка х = 1/4, в которой Sf(x) обращается в нуль.
Проверим является ли эта критическая точка точкой локального экстремума. Воспользуемся вторым правилом отыскания экстремума:
