Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Сумма п первых членов ряда Sn называется п-й частичной суммой ряда.
При п —> оо возможны два случая.
I. При неограниченном возрастании номера п сумма п первых членов Sn стремится к конечному пределу S :
lim Sn = S.
Тогда говорят, что ряд сходится и число S называется суммой этого ряда.
П. При неограниченном возрастании номера п сумма п первых членов Sn возрастает неограниченно или вообще не стремится ни к какому пределу. Тогда говорят, что ряд расходится и суммы не имеет.
Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм — этот предел называется суммой ряда; в противном случае ряд называется расходящимся.
Таким образом, сумма бесконечного ряда получается не в результате суммирования всех членов, а как предел последовательности частичных сумм ряда. Понимание суммы ряда как суммирования всех его членов приводит к недоразумениям. Например, что считать суммой ряда
1-1 + 1-1 + ...?
Многие скажут, что суммой ряда следует считать 0, поскольку члены ряда можно сгруппировать так:
(1-1) + (i-i) + (1-1) + ... =0 + 0 + 0 + ... = 0.
Но другие возразят, что группировать можно и по другому — не начиная с первого члена, а начиная со второго, то есть так:
1 +(-1 + 1)+ (-! + !) + ... = 1 + 0 + 0+... = 1.
3.4- Числовые ряды
55
Между тем, и те и другие не правы. Этот ряд расходится, поскольку последовательность частичных сумм не имеет предела:
Si = l, ?2 = 1-1 = 0, S3 = 1-1 + 1 = 1, ....
Только понимание суммы ряда как предела частичных сумм позволяет избежать многих недоразумений и парадоксов.
Я знаю, что это такое, только до той поры, пока меня не спросят — что же это такое!
Блаженный Августин
Глава 4 Предел функции и непрерывность
4.1. Определения предела функции
Пусть а — число. Функция у = f(x) задана в некоторой проколотой окрестности точки а, т. е. при х Е (а — ?, 0) U (0, а + е). Точка а не обязательно входит в D(f).
Рассмотрим ряд последовательностей {хп}, значения которых лежат в области определения f(x) (хп ф a, Vn Е N) и таких, что
Для каждой такой последовательности хп построим последовательность уп = f(xn).
Если все последовательности {уп} имеют пределы, эти пределы совпадают между собой и равны некоторому 6, то говорят, что функция f(x) при ж, стремящемся к а, имеет предел, равный Ь. В противном случае говорят, что функция f(x) при ж, стремящемся к а, не имеет предела.
Сформулируем точное определение предела функции.
Определение 1. Число b называется пределом функции f(x) в точке х = а, если для любой последовательности хп, сходящейся к а (хп G D(f), хп ф а при любом п), последовательность соответствующих значений функции у = f(xn) сходится и ее предел равен Ь.
Кратко пишут
lim хп = а
п—>-+оо
4-1. Определения предела функции
57
4 х2 - 1
V Пример 1. Функцию у = f(x) = —-— определена во
АХ -L
всех точках, кроме х = -. Найти предел функции при х —> 6.
4 • б2 - 1
Решение. Возьмем а = 6. Тогда /(6) = —-—— = 13. По
мере приближения любой последовательности {хп} к 6, числитель 4 ж2 — 1 стремится к 143, знаменатель — к 11. Вся дробь стре-143
мится к -jTj- = 13. Число 13 (равное значению функции при х = 6) есть вместе с тем предел функции при х —> 6:
4 ж2 - 1 lim ±?-i = 13. А
ж-^6 2 ж - 1
V Пример 2. Рассмотрим ту же функцию f(x) =
4ж2-1 2- 1 '
Найти предел этой функции при х —> а = -.
Решение. Функция /(ж) в точке а = i не определена (формула дает неопределенное выражение jj ). Но предел функции
1 гл
при ж —>> - существует. Он равен двум.
4 х2 - 1
Действительно, выражение /(ж) = —-— неопределено
АХ -L
только при ж, равном -, но при приближении членов любой
последовательности {хп} к ^, выражение 2хп — 1 отлично от
4 ж2 - 1
нуля. Поэтому, разделив числитель дроби -—-—- на отличный
от нуля знаменатель, получим 2хп + 1. А последнее выражение стремится к числу 2. Следовательно,
lim = 2. А
*А 2х~1
V Пример 3. Доказать, что функция f(x) = sin — не имеет предела при х —> 0.
58
Гл. 4- Предел функции и непрерывность
Решение. Рассмотрим последовательность {хп}, где хп = = —¦----. Ясно, что хп ф О, lim хп — 0. Построим по-
7Г/2 + 7Г(п + 1) П^ + ОС
следовательность {уп}-> где уп — sin 1/хп = sin(7r/2 + тг (п + 1)). Последовательность уп совпадает с последовательностью
-1, 1, -1, 1, -1,
которая, как мы знаем, расходится. Отсюда следует, что функция f(x) = sin — не имеет предела. А
Существует другое определение предела функции, в котором не используется понятие предела последовательности.
Определение 2. Число b называется пределом функции f(x) при х —> а (или в точке х = а), если для любого ? > 0 существует такое 6 > 0, что при всех ж, удовлетворяющих условию 0 < < \х — а\ < 6 выполняется неравенство \f(x) — b\ < е.
С помощью логических символов определение можно записать в следующем виде:
(6= lim/(о;)) *
(Ve> 0 36 = 6(e) > 0 Ух фа: \х - а\ < 6 \f(x)-b\<e).
Рассмотрим геометрический смысл предела функции в точке. Построим график функции у = f(x), точки х = а, у = Ь. Выберем е > 0 и построим прямые у = b + е, у = b — е. Число b является пределом функции f(x) в точке х = а, если найдется ^-окрестность точки а такая, что часть графика функции /(ж), для которой х G (а — 6, a) U (а, а + 6), попадает внутрь полосы, ограниченной прямыми у = Ь — е и у = b + е.
