Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
у(0) = 4, у'(0) = 0. Решение. Общее решение искомого уравнения имеет вид у = (С1 + С2х)е-2х.
Воспользуемся начальными условиями для определения произвольных постоянных С\ и С2. Находим производную общего решения:
у1 = -2 Сг е~2х + С2 е~2х - 2 С2 х е~2х.
Подставив ж = 0иу = 4в общее решение, получим С\ = 4. Подставив ж = 0и?/ = 0в найденное выражение для у'\ получим
0 = 2d + C2,
откуда С2 = 8.
13 Я. М. Ахтямов
386 Гл. 18. Дифференциальные уравнения высшего порядка
Следовательно,
у = 4е-2х + 8хе-2х
есть искомое частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. А
Задача 2. Найти частное решение уравнения
у"-5у' = 0,
удовлетворяющее начальным условиям
у(0) = 1, у'(0) = -5.
Ответ: у = 2 — е~5ж.
18.4. Линейные неоднородные второго порядка с постоянными коэффициентами
Пусть требуется найти общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
у" + РУГ + ЯУ = f{x).
(18.13)
Напомним, что общее решение неоднородного уравнения (18.13) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения
у" + ру' + qy = О
(18.14)
и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения (18.13). Если
Уоди = Ci yi(x) + С2У2(х)
есть общее решение уравнения (18.14), а у — какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения (18.13), то общее решение выражается формулой
У = УоАн + У.
(18.15)
Метод неопределенных коэффициентов. В предыдущем параграфе рассмотрен способ нахождения общего решения уравнения (18.14). Следовательно, остается указать способ
18.4- Линейные неоднородные второго порядка
387
нахождения какого-либо частного решения заданного уравнения (18.13). Рассмотрим способ отыскания частного решения методом неопределенных коэффициентов. Этим методом можно пользоваться в нескольких случаях. Рассмотрим случай, когда функция f(x) из правой части (18.13) представляется в виде
f(x) = emxPn(x),
где Рп(х) — многочлен n-й степени.
Теорема 1. Если т не является корнем характеристического уравнения
k2 +рк + q = О, то частное решение уравнения (18.13) имеет вид
y = emxQn(x),
где Qn(x) — многочлен п-й степени с неопределенными коэффициентами.
Если т — корень характеристического уравнения k2 +рк + q = О, то частное решение уравнения (18.13) имеет вид
y = xremxQn(x),
где г = 1 или 2, смотря по тому, совпадает т с одним из корней характеристического уравнения или же с каждым из двух равных корней характеристического уравнения.
V Пример 1. Найти общее решение уравнения
у"-7у' + Юу = 4е3я\
Решение. Находим общее решение уравнения без правой части
у//-7у/ + Ю = 0.
Характеристическое уравнение
к2 -7 к + 10 = О
имеет корни к\ = 2 и к2 = 5.
Общее решение однородного уравнения таково:
УоД„ = С1 е2х + С2е5х.
13*
388 Гл. 18. Дифференциальные уравнения высшего порядка
Рп{х) — 4 — многочлен нулевой степени, т = 3 не совпадает ни с одним из из корней характеристического уравнения. Поэтому частное решение у следует искать в виде А е3 ж, т. е.
У = Ае3х,
где А — неопределенный коэффициент, который нужно найти. Дифференцируя это равенство, находим:
^ = ЗЛе3ж, у" = 9Ле3ж.
Подставим 1/, у1 и у" в левую часть исходного уравнения и определим значение коэффициента А:
9 А е3ж - 21 А е3ж + 10 А е3ж = 4 е3ж;
-2 Л = 4; Л = -2.
Следовательно, частное решение 1/ = А е3ж = — 2 е3ж, а общее решение
у = С1е2х + С2е5ж -2е3ж. А
V Пример 2. Найти общее решение уравнения у" -у' -6у = 12ж2-2ж + 1.
Решение. Находим общее решение однородного уравнения у"-?/,-6?/ = 0. Так как характеристическое уравнение
&2 - к - 6 = 0
имеет корни к\ = —2 и &2 = 3, то общее решение однородного уравнения
у0ДИ = Сге-2х + С2е3х.
В правой части заданного уравнения ешж = е°'ж = 1, поэтому m = 0. Число нуль не является корнем характеристического уравнения. Следовательно, частное решение у заданного уравнения следует искать в виде многочлена второй степени, т. е.
у = Ах2 + В х + С.
Дифференцируя это равенство, находим у1 иуП:
у' = 2Ах + В; у" = 2А.
18.4- Линейные неоднородные второго порядка
389
Подставив у, у1 и у" в левую часть заданного уравнения, получим равенство:
2 А-2 Ах- В -6 Ах2 - 6 5 ж - 6 С = 12 ж2 - 2 ж + 1,
или
-6 А х2 + (-2 А - 6 5) х + (2 Л - В - 6 С) = 12 х2 - 2 х + 1.
Выбираем неопределенные коэффициенты А, В и С так, чтобы последнее равенство стало тождеством. Для этого приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной х. В результате получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными А, В и С.
Решая систему
'-6 А = 12,
< -2А-6В = -2,
,2А-Я-6С = 1,
находим, что А = —2, В = 1, С = — 1. Следовательно, частное решение имеет вид
у = -2х2 + х-1,
а общее —
y = d е~2х + С2е3х -2х2 + х-1. А
V Пример 3. Найти общее решение уравнения у"-2у' + у = хех.
Решение. Характеристическое уравнение k2-2k + l = 0 однородного уравнения имеет двойной корень
к\ = к2 = 1.
Поскольку
f(x) = хех
и т = 1 совпадает с корнем характеристического уравнения, а Рп(х) — многочлен первой степени, то частное решение заданного уравнения есть функция
