О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
В настоящей главе мы займемся изучением позитивных и ненегативных последовательностей (s) и (с), т. е. функционалов 6 и чисто алгебраическим методом, который является дальнейшим развитием метода Stridsberg'a [40] и М. Riesz'a [37], обращая особое внимание на представления последовательностей с помощью сумм 1 с минимальным числом слагаемых (канонические представления).
§ і
1. Начнем с установления критерия позитивности (соответственно ненегативности) последовательности
(1) S0, S1, Sit ..., Sn
в интервале (—оо, оо).
Теорема 1
Для того, чтобы последовательность (1) была позитивна (соответственно ненегативна) винтер-вале (—со, со), необходимо к достаточно, чтобы квадратичная форма НапкеГя
т
SiJrk XiXk ,
и
где т — была положительна (соответственно
неотрицательна).
Доказательство следует из того, что полином Gn (и) степени не выше л-ой будет неотрицателен в интервале (—о=, со), тогда и только тогда, когда он допускает представление
Gn(и) =
У (Xk + iyk) Uk
== 2 Х( Xv. W- * +
+ V>,JV«>+11 [m= -у-]),
где xk, yk (k = 0, 1,..., т) вещественные числа.
1 Вида (*), если речь идет о последовательностях (s).
6 2. Пусть
(2)
So, S3,. • •, SSfrl_,
есть позитивная последовательность в интервале (—оо, со). По теореме 1, следовательно, имеют место неравенства
Du
Полагая
S0 S1 . . . Sk
S1 S2 . . . Skfl
>0 (?=0,1,2.....tn—l).
Sk S«T1 • •
S0 S1. . . Sft
S1 Sj . . . Sk^l
SA-1 Sk ¦ ' • S2k-l
(? = 1,2,..., яг-1), P0(It)Sl1
і к I U ... U
мы находим, что Pk(и) есть полином точно к- ой степени, удовлетворяющий условиям
@{РЛ(и)в'} =0 (i = 0, \,...,k — I; k^Crn — I)
и называемый ортогональным полиномом степени Беря
ь
Sk^fxttp(X)Clx (?=0,1,2,...)
о
мы получаем классические системы ортогональных полиномов:
1. Jacobi при а = — 1, Ь « 1, р (х) = (1 + xf (1 — xf (К > — 1, ц > — 1).
2. Laguerre'a при а = О, Ь = оз;р(л) = е-*.
3. Hermite'a при а =—со, Ь =Col р(х)~ е~х~.
Легко видеть, что всякий ортогональный полином степени к равен a Pk (и), где а —константа. Действительно, коэфициенты A1 ортогонального полинома
A0 + A1U+ ... + AkUk удовлетворяют уравнениям
А^о + А^ + • • • +Ak Sk = 0, ^0S1 + A1S2 + ... + Ak Ski-i = О,
AtSk-1 + A JSA + ... + Ak Sik-I = О, а ранг этой системы равен к, так как Dk-1 > 0.
7 Полином
Pk (и) =
У Dk^lDk
-Pk(U)
-Yt-1
удовлетворяющий, кроме условия ортогональности, также условию нормирования
называется ортонормированным полиномом степени k.
Следуя М. Riesz'y [37], назовем полином 0А(«)фО, степень которого ^k, к в а з и-о ртогональным полиномом ранга к, если
@{Qft(«)H'} = 0 (і =O1 1, 2,..., k-2; k<m).
Очевидно, что полиномы Pk (и), (zi) суть квази-ортого-нальные полиномы ранга к. Для любого квази-ортогонального полинома Qk(«) ранга k<m — 1 можно подобрать а так,, чтобы разность Qft (и) —a Pft (и) имела степеньk—1 и, следовательно, была ортогональным полиномом степени k—1 или тождественно равнялась нулю. Отсюда вытекает, что всякий квази-ортогональный полином Qk(U) ранга k — 1 можно представить в виде
Qfe (и) = a Pft (и)+ В Pft^ (и),
где константы (комплексные) я и ,3 одновременно не равны нулю.
Легко видеть, что всякий квазн-ортоговальный полином Qk (и) ранга k^m можно записать также в виде определителя
S0 S1 . . . Sk
Ok (u)
Aft+1
^ft-2 •'ft—1
otO aI
1 и
5 2ft—2 „ft
где a#, a ,..., ak — константы.
Теорема 2
Все корни любого вещественного квази-ортогонального полинома вещественны и простые.
Доказательство
Пусть Q1, S2,... ^p-все различные вещественные корни вещественного квази-ортогонального полинома Qft(и) ранга k, кратности которых нечетны, так что произведение
G(u) = s(«-S,)(« — У ...(и — 5Р)Ой(и)фО (е =± 1)
неотрицательно для всех вещественных и.
Допустивши, что —2, мы получили бы в силу харак-
теристического свойства квази-ортогонального полинома, что
@{G} = 0, но это невозможно, так как
G(u) >0.
Поэтому p>k — 1 и значит S1, S2.•••. % — простые корни полинома Qk(u), а так как он вещественен, то р равно степени полинома Qk(u).
3. Пусть S1, S2,..., Sm все корни вещественного квази-ортогонального полинома Qm(u) степени т.
Произвольный полином G(и) степени ^lm — 2 можно представить в виде:
G(u) = Qm{u) q (и) +г (и), где q (и) — полином степени <ти—2, а
т т
г(«) = У-^---гQ= V-^^- G(Sft)
zj ("-?) qm(sft) * Zj
k^l R=I
полином степени < т — 1.
В силу характеристического свойства квази-ортогонального полинома Qm(u):
S{G} = S{r}; '
следовательно, имеет место так называемая квадратурна» формула 1
1 Основанием для этого названия является то обстоятельство, что при
ь
sk = Jjckp (х) dx (k =O1 1,2,...)
формула (3) принимает внд
b т
J G (х)р(х) dx = 2 Pft G (Zk)
a
и являясь точной, когда G (х) есть многочлен степени < 2т — 2, может служить для приближенного вычисления интеграла
ь
J G(x)p (х) dx,
а
когда G (х) не является многочленом степени 2т — 2. (З) ©{0}-SpkGC4),
