О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
Pl-1(»)
1—н
должно было бы иметь место неравенство
которое противоречит свойству ортогональности.
Применяя теорему 3 и припоминая снова сказанное в конце § 1, находим,, что Si, Sm (формула (CL1)) с>ть корни квазиортогонального полинома
Qm (и; - 1) = Qm (и) Pm^ (- 1)- Qm <- 1)Рт_, (и),
подобным образом для формулы (С+1) найдем, что числа SjJ суть корни квазиортогонального полинома
Om (и; 1) - <?т (и) (1) - Cm (1) Pm.! («)¦
При этом Qm(U) — какой-нибудь вещественный квазиортогональный полином степени т.
4. Если последовательность
(2) S0, Si.....Sn
позитивна н интервале 1, 1>, то удлиненная последовательность
Таким путем мы получим, что
р; =_1___®l <'-*>*»-j(g>.\
о -h2) Rm-^i) I и-Si J
Po-2R _'(_!)
4J будет ненегативна в интервале <—1, 1> тогда и только тогда, когда
Ag) с ^ Jd)
sn+l ** Sn I 1 ^ 5ZIfl
где j, s^fj 1 зависят только от чисел s0. .....sn•
Нетрудно найти выражения для S^1 и S^1; именно при п = 2т — 1
«о • • ¦ Sm—і Sm
ъг т
А2т
-Ss
т—1 Sjn • • •
¦ s2m—2 52т— 1 0
^o • • • Sm—1
sm—1" • • ^2^-2 ¦ «/п-г-5«
om-1
-S
т+1
l5Zn-2 sm-l-S
Sm т+1
. . S,
2т—і sZm-S ~~ S2m-l
0
и при п = 2т
я<г)
о'в/ _ ,
iZm-I —
S0-S2... Sm—2 Sm
Sm-Z-SnI -¦¦ Sim^i — S2m-2
S0 + S1. . . Sm_l + Sm
Sm _ J + Sm ¦ ¦ • о
+ S2m-'
2/п— 2,
°2т—2
S0 + S1
лт-1
2т—1
' — с JL
-1 ~ aim—2
-S1.
5т—2+ 5т-1
-1 + sIm- »
— •Sn
т—1
Sm... О
sm—2 ~ йт—1 ' '
°2т—4
'2т-
Если положить s„+1 = или Sn rl = S^1, то удлиненная последовательность уже не будет позитивной в интервале < — 1, 1 >, а будет иметь ранг п + 1.
Следовательно, для удлиненной таким образом последовательности по теореме 16 а будет существовать только одна квадратурная формула.
Легко видеть, что мы получим квадратурную формулу типа
2т
2т '
(Л), если (В), если S. (С_х), если S2m-J = <С+]), если S2ff^1 = S^L1
п — 2т — 1
As) sim
a2 т і
<.<g) і
KT1 S n = 2m — 2.
42 Это соображение позволяет дать правило для нахождения величин р;., ?у) входящих в каноническое представление ненегативной в интервале <—1, 1> последовательности (см. теорему 16а)
S0 ¦ • • * ^n*
Определивши ранг j» < я + 1 этой последовательности (с помощью следствия теоремы 18), мы получаем следующие возможности
l°,p=2m, I st + k I0"1 = 0, т.е. *2m = 4?;
2°, р= 2т, Si, k — SiJyk , 2 I0m^1 =0, т. е. =si^m,
3°, р = 2т - 1, I + Si^11-"1 = 0, т. е. =
4°, р = 2т - 1, I */+ft - L1 I0"-1 = 0, т. е. = 42U-
Этим случаям отвечают квадратурвые формулы (канонические представления) соответственного типа (Л), (В), (Cl1), (С+1) и, следовательно, нахождение величин Pj) Iy может быть выполнено по указанным выше формулам.
ГЛАВА 2
Степенная и тригонометрическая проблемы моментов
Займемся приложением доказанных в предыдущей главе теорем к решению классических проблем моментов и некоторых тесно связанных с ними проблем анализа.
Мы цачнем с тригонометрической проблемы моментов, впервые решенной F. Riesz'oM [36а] и Herglotz'eM [30] в связи с известной проблемой С. Caratheodory [22].
§ 1
1. Из результатов главы 1 немедленно следует
Теорема 1.
Для того, чтобы существовала неубывающая функция з (t), имеющая точно р точек роста и удовлетворяющая уравнениям
U) ck = jeik'd4t) (А = 0, 1,2,...),
о
где последовательность {с* } имеет, по крайней мере , р элементов, необходимо и достаточно, чтобы последовательность { о*} была ненегативна (на окружности) и имела ранг р.
Доказательство
Если последовательность^} ненегативна и имеет ранг р, то на основании теоремы 12 главы 1 однозначно определяется представление
с* e 2 P// (&=0, 1,2,...,/7-1,...),
/=1
43 где Р/> о, OLj = e"J , причем можно принять, что о < и < t2 < ... < tp < 2тг. Поэтому, полагая
°(f) = °p(«)=?p/ (0<*<2u),
t,<t
мы найдем искомое представление (1).
Обратно, если имеет место представление (1}, то последовательность {Ck}, очевидно, ненегативна, поскольку
т 2тс т
Ъ Ak Ck = [ ? А» V) (А-* = & > =
k——m о ft=—m
Так как o(f) имеет точно р точек роста, то при т^.р — 1 из
т
(2) (0«f<2ir,2|At|>0)
к——т
всегда будет следовать
т
S Ak Ck > 0.
ft= —Л!
С другой стороны, при т> р тригонометрический полином (2) можно всегда подобрать так, чтобы он был равен нулю во всех точках роста функции и, следовательно, чтобы вытекало-равенство
т
V AkCk = 0.
ft=—/п
Теорема 2 (F. Riesz — G. Herglotz).
Для того, чтобы существовала .неубывающая функция a(t) с бесчисленным множеством точек роста, удовлетворяющая уравнениям
Як
Ck=J eiktds (t) [k = 0, 1,2,... ),
о
необходимо и достаточно, чтобы последовательность {ck} была позитивна.
Доказательство
Необходимость условия получается так же, как и в предыдущей теореме.
При доказательстве достаточности мы можем считать, что> последовательность {ck} бесконечна. Действительно, по теореме 6 главы 1 позитивную последовательность с0, Ci, ..., сп~і можно всегда продолжить до позитивной же последовательности с0, съ сг, ..., сп.
