Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
и аппроксимация доверительных интервалов
Для проверки гипотезы Н0: 0г- = 9го, ? = 1, т, используем статистику
г = (в,—а0)/[К (ва11/2, (3.4.6)
где 0; — численное значение МНК-оценки для 9г, а V (0,) — оценка асимптотической дисперсии для 0г. При истинности Н0 и при больших п эта статистика приближенно распределена по закону N (0, 1). Приближенным 100 (1 — а) %-ным доверительным интервалом для 0г, I = 1, т, служит
§,±21-<«/2) [УШ12- (3.4.7)
Приближенным 100 (1 — а) %-ным доверительным интервалом для среднего значения У, соответствующего выборочным значениям хи, х21, хр(, I = 1, п, служит
У1±г1^(а/2)[8й(у{)], (3.4.8)
где У1 — оцененное значение У при хи, х21, хр1, а ва (у() — соответствующее стандартное отклонение для у{. Получение доверительного интервала для среднего значения У при Х1г Хр, не принадлежащих выборке, является непростой задачей.
Последовательность остатков уг — #ь I — 1, п, можно использовать так же, как в разд. 3.1.5.
3.4. Нелинейная регрессия
211
Замечания 3.4.1. 1. Выбор начальных значений 8{ , 8^ является чрезвычайно важным? моментом,Гпоскольку неудачный выбор может привести к медленной сходимости или даже расходимости вычислительного процесса. Приемлемость начальных значений можно установить на основании пробных предварительных просчетов, а в случае одной независимой переменной X полезный прием состоит в проведении ряда кривых f (х; 8Ь 9т) для различных значений 8Ь Эт на плоскости с нанесенными точками данных.
2. Так как в некоторых программах оценкам не позволяется выходить за установленные верхние и нижние границы, то пользователь должен задавать границы очень аккуратно, чтобы не сделать их слишком ограничительными.
3. Полезной величиной (которая, однако, не всегда присутствует в составе выходных данных) является коэффициент корреляции между наблюдаемыми значениями yt и предсказанными yt. Когда сравниваются альтернативные модели, лучшей считается та, для которой величина этого коэффициента больше.
4. Для некоторых специальных видов нелинейных функций (таких, как экспоненциальные или тригонометрические) существуют программы, для которых не требуется задания начальных значений и подпрограмм, написанных пользователем.
Пример 3.4.1. У 107 больных в критическом состоянии были измерены значения двух показателей: Y — сердечный индекс [л/(мин-м2)] и X — среднее время циркуляции (с). Диаграмма рассеяния данных подсказывает (рис. 3.1.3) зависимость вида
Для обработки этих данных была использована программа нелинейной регрессии (BMDP3R). Начальные значения параметров, верхние и нижние границы были получены путем анализа графического отображения данных и кривых вида
f(x; въ Э2, 98) = 0, + 02ебз*
для различных наборов 8Ъ 8а и Э3. Были выбраны следующие начальные значения: 8? = 1.0, 8° = 1.0 и 83 = —0.2 и границы 0.1 < 9i < 5.0, 0.1 < 82 < 100.0 и —0.5 < 83 < 0.0.
Результаты итерационной процедуры (метод линеаризации) даны в табл. 3.4.1. Окончательной оценкой уравнения служит
у = 1.3707 + 1.8925е-°-1880*,
а оценкой для а2 будет s2 = 0.7304.
212
Гл. 3. Регрессионный и корреляционный анализы
Таблица 3.4.1
Численные значения последовательных итераций метода линеаризации для модели у = 6Х + 62е6**
Среднеквадратичная
Итерация ошибка 0. в2 вз
0 3.8168 1.0000 1.0000 -0.2000
1 2.4508 1.0400 2.5492 -0.1000
2 2.0765 1.4036 1.3727 -0.2562
3 0.8968 1.4393 8.8124 -0.1281
4 0.7857 1.3574 1.6380 -0.1618
5 0.7305 1.3744 1.8426 -0.1580
6 0.7304 1.3709 1.8303 -0.1580
7 0.7304 1.3707 1.8296 -0.1580
8 0.7304 1.3707 1.8295 -0.1580
9 0.7304 1.3707 1.8295 -0.1580
10 0.7304 1.3707 1.8295 -0.1580
11 0.7304 1..3 707 1.8295 -0.1580
Оценки асимптотических стандартных • отклонений суть
[у (Єі)]'/2 = 0.1774, [V (Эа)]1/2 = 5.728 и IV (93)]1/2 = 0.02822. Проверка гипотезы Н0: 0Х = 0 против Н0: 0Х Ф 0 производится с помощью вычисления значения статистики
2 = (1.3707 — 0)/0.1774 = 7.727,
которое высоко значимо (Р < 10"°). Для проверки гипотезы Н0: 92 = 2 против Н^. Э2 ¦< 2 вычисляем величину
г = (1.8295 — 2.0)/5.728 = —0.030,
которая незначима.
Приближенным 95 %-ным доверительным интервалом для 03 будет
—0.1580 ± 1.96 (0.02822) = (—0.213, —0.103).
Так как этот интервал не включает 0, гипотеза Н0: 03 = 0 отвергается с уровнем а = 0.05.
3-4. Нелинейная регрессия
213
Приближенным 95 % -ным доверительным интервалом для среднего значения У при х23 — -20.5 будет
1.445 ± 1-96 (0.1106) = (1.228, 1.662),
где 0.1106 — стандартное отклонение для у23 = 1.445.
Коэффициент корреляции между У и X есть г1 = —0.659. Это мера линейной зависимости между рассматриваемыми переменными. Для нелинейной модели мерой зависимости служит оценка простого коэффициента корреляции гиь между у1 и ^. Так как гыь = 0.771 > | гь |, то, следуя замечанию 3.4.1.3, можно заключить, что нелинейная модель является более подходящей для подгонки рассматриваемых данных.
Пример 3.4.2. Реакция образования комплекса НИ гормона Н с рецептором И дается формулой
где — константа прямого сродства (моль-1-мин"1), а к%— константа распада комплекса гормон — рецептор (мин"1). Дифференциальное уравнение, описывающее эту реакцию во времени, имеет вид
