Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
_ 0.9039 УШ _ 0. _ У\ -0.8170
Заметим, что (21.7)2 = 470.9.
Для определения 95 %-ного доверительного интервала для р сначала находим (табл. 8, приложение II)
1 , 1.904 . Лпо ° = ^-1п-ао9б- = 1-493-
Откуда, используя выражение (3.1.37), получаем
щ = 1.493 - 1.96/КЮ5 = 1.302 и
»я = 1.493+ 1.96/К Ю5 = 1.684.
Обращение табл. 8 даэт для р интервал (0.86, 0.93). Эгот интервал включает истинное значение р с уровнем доверия 95 %.
С другой стороны, используя табл. 9, приложение II, с г = = 0.90, получим границы (0.85, 0.93), чго указывает на согласованность обоих методов. Любой из эгих интервалов может быть использован для проверки гипотезы Н0: р = р0; например, гипотеза Я0: р = 0.5 должна быть отвергнута, так как интервал не содержит значения 0.5. ~ ' (" г 7 J
3.1.5. Анализ остатков
В предыдущем рассмотрении простой линейной регрессии были сделаны три предположения. Оли касались формы модели, распределения и случайности величины ошибки е. Один из методов проверки адекватности линейной модели обсуждался в разд. 3.1.3. Все три предположения могут быть проверены при рассмотрении графиков остатков d, = yt — yit i = 1, л. Такие графики включены в состав выходных данных программ бол ьшинства ПСП.
Для проверки адекватности модели можно использовать график dj_ в зависимости от хь или уь i = 1, п. Если остатки попадают в горизонтальную полосу е центром на оси абсцисс, модель можно рассматривать как адекватную (рис. 3.1.6, а). Если полоса расширяется, когда х или у возрастает (рис. 3.1.6, Ь), это указывает на гетероскедастичность (т. е. на отсутствие постоянства дисперсии а2). В частности, а может быть функцией (i0 + р\х, что делает
3.1. Линейная регрессия и корреляционный анализ
163
необходимым преобразование переменной У. График, показывающий линейный тренд (рис. 3.1.6, с), дает основание для введения в модель дополнительной независимой переменной (см. разд. 3.2
-У или у
-Хили У
-Хили У
-X или У
Рис. 3.1.6. Примеры графиков остатков, а—адекватная модель; Ь — гетеро-скедастичность; с—линейная независимая переменная; й— линейная или квадратичная независимая переменная.
о множественной регрессии). График вида, представленного на рис. 3.1.6, й, указывает, что в модель должен быть добавлен линейный или квадратичный член.
Для проверки нормальности еи 1 = 1, п, подходит гистограмма й1. Нормальность может быть также проверена с помощью критериев согласия.
• • •
• • • Время ила
положение
Время или
'положение
Рис. 3.1.7. ный тренд.
Примеры отсутствия случайности, а — сезонный тренд, Ь — линей-
6*
164
Гл. 3. Регрессионный и корреляционный анализы
Если данные упорядочены некоторым образом (например, последовательность точек по времени или по расположению), то график остатков_а^_в том же самом порядке, в котором собирались данные, позволяет проверить случайность. Гипотезу о случайности можно отвергнуть, если выявлен тренд, причем тренд может иметь как сезонный, так и линейный характер, см. рис. 3.1.7, а и Ь.
Дальнейшее обсуждение и рассмотрение этих вопросов содержится у Anscombe (1961), Anscombe, Tukey (1963), Box, Watson, (1962), Draper, Smith (1968).
3.2. Множественная линейная регрессия, множественная и частная корреляции
Рассмотрим теперь проблему предсказания одной переменной У с помощью р переменных Хи 7Г.,~ Х~р, р > 1. Традиционно переменная У называется зависимой переменной, в то время как переменные Хх, Хр называется независимыми переменными. Такое применение слова «независимые» не следует смешивать с понятием «статистической независимости», определенном в разд. 1.1.6. Фактически, в некоторых случаях независимые переменные Хх,..., Хр суть случайные величины, которые, как будет видно из дальнейшего, не обязательно [являются статистически независимыми.
Как было отмечено во введении к этой главе, величину У можно аппроксимировать посредством функции регрессии / ( ), содержащей неизвестные параметры. Уравнение модели, выражающей зависимо:ть между зависимой и независимыми переменными, можно записать в виде
где рх, 6т — неизвестные параметры и е — ошибка аппроксимации У посредством функции регрессии. В частности, если т = р + 1 ,и !(хх, хр; 60, Р1, 6„)'= 60 + §ххх + ... + -\-\§рХр, мы имеем модель множественной линейной регрессии
В этом уравнении некоторые независимые переменные могут быть функциями других переменных или друг друга. Например, у = = Ро + Pi sin zi + Pa cos zi + e есть модель множественной линейной регрессии с хх = sin zx и хг = cos zx. В частности, если xt = хс, i = 1, р, получается модель полиномиальной регрессии
y = f(xx, . . ., хр; Pi, . . ., pm) -f е,
(3.2.1)
У = Ро + Pi*H-----Ь Рр*р + е.
(3.2.2) .
#=Р0 + М + Р2*2+--- +РР*"+е.
- (3.2.3)
3.2. Множественная линейная регрессия и корреляции
165
, Наконец, нужно помнить, что слово «линейная» подразумевает-} линейность относительно параметров,"но не по отношению к независимым переменным. Так, у = (30 + sin ф^) + $2х2 не является линейной функцией параметров.
В этом разделе рассматривается модель множественной линейной регрессии, заданной в общем виде уравнением (3.2.2). Хотя для описания многих реальных ситуаций более подходящими являются нелинейные модели^(разд. 3.4Т^ линейная мщгель может быть полезна по крайней мере**Как первое приближение "кнелйнёйной модели. Раздел 3.2.1 посвящен оценке пТрЖётрб"в,~1Г разд. 3.2.2 представлены различные критерии для проверки гипотез и доверительные интервалы, содержащие эти параметры. Разделы 3.2.3—3.2.5 содержат материал по теории и оцениванию двух мер ассоциации или зависимости между Y и независимыми переменными — так называемыми множественным и частным коэффициентами корреляции. Поскольку многие выражения в этой главе являются слишком громоздкими, чтобы их можно было представить в простом виде, читатели, математически более искушенные, найдут матричную запись этих выражений в разделах, помеченных звездочкой.
