Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
Имеется много других способов использования ЭВМ в статистическом анализе. Одним из способов является случайный выбор множества объектов из более широкого множества. Эта процедура содержит случайный выбор числа z из равномерного U (0,1) распределения. Программы, выполняющие эту операцию, называются генераторами псевдослучайных чисел и обычно содержатся в библиотеке программ ВЦ. Проблема получения псевдослучайных чисел, близких по своим свойствам к случайным, исследовалась многими учеными (например, Lewis et al., (1969); Chen (1971); Atkinson, Pearce (1976)).
Генерация случайных чисел необходима для выполнения статистического моделирования. Например, часто бывает трудно аналитически вывести выборочное распределение некоторой сложной статистики. Тогда статистик может прибегнуть к моделиро-
48
Гл. 1. Введение в анализ данных
ванию, производя повторно случайные выборки из соответствующего теоретического распределения, а затем вычисляя значение статистики критерия для каждой выборки с тем, чтобы получить исследуемое выборочное распределение. Затем это распределение и его характеристики можно рассматривать вместо характеристик неизвестного выборочного распределения. Эта процедура известна как метод Монте-Карло (Hammersley, Handskomb (1964)), соответствующие примеры приводят Azen, Derr (1968) и Katz et al. (1978) *).
Если теоретическое распределение с известной функцией распределения z = F (х) имеет обратную функцию х = F 1 (г), которую можно представить в явном виде, то из этого распределения легко получить случайную выборку объема п. Для этого выберем сначала случайные числа zu гп из распределения U (0,1). Тогда известно, что значения х1у хп, где xL — F'1 (г,), представляют собой случайную выборку из распределения с ФР F (х). Существуют методы и для получения выборок из распределений, для которых F*1 не выражается в явном виде (Hastings (1955)). Box, Mueller (1958) приводят методы получения случайных чисел из распределения N (0,1).
Другой способ получения случайных выборок из заданного распределения состоит в использовании связи между заданным и теми распределениями, для которых имеются случайные генераторы. Например, чтобы получить случайную выборку объема п из распределения %2 (v), можно получить п независимых выборок по V случайно выбранных значений из распределения N (0,1). Если
V
обозначить t'-ю выборку через ыа, щ.., а X/ = 2 и%, i =
. k=\
— 1, я, то Xj, хп и будут искомой выборкой.
Чтобы получить случайную выборку объема п из распределения t (v), достаточно выбрать величины иъ ип случайно из JV (0,1), а хи хп — случайно из %2 (v). Тогда tly .... tn, где
U = щ1 Vxilv,
и будет искомой выборкой.
Чтобы получить случайную выборку объема п из распределения F (vb v2), выберем иь ы„ случайно из %2 (vj), а о., vn — случайно из х2 Ы)- Тогда шъ wn, где
Wi =-;-
и будет искомой выборкой.
*) В настоящее время происходит быстрое развитие этих методов исследования, являющихся частными случаями имитационного моделирования. Подробнее см. Бусленко и др. (1962)*, Соболь (1968)*, Кляйнен (1978)*. — Прим. ред.
1.6. Другие применения ЭВМ
49
Другим важным применением ЭВМ является вычисление про-центилей теоретического распределения. Если плотность f (х) известна, а функция распределения F (х) не выражается в явном виде, то для нахождения процентилей можно использовать программу численного интегрирования, обычно имеющуюся в библиотеке программ. Если f (х) нельзя представить в явном виде, то процентили можно получить с помощью метода Монте-Карло. Для этого нужно случайно выбрать много значений х из распределения с функцией плотности f (х), а затем оценить q-ю процен-тиль с помощью значения xq, левее которого расположены q % выборочных значений.
Наконец, другим важным применением ЭВМ является вычисление оценок максимального правдоподобия. Один такой метод обсуждается Rao (1965). Обзор многих численных методов приводят Ralston, Wilf (1960).
Пример 1.6.1. Приведем теперь пример использования ЭВМ для моделирования распределения случайной величины из Bergman, Azen (1974). В этом примере требовалось установить, можно ли объяснить колебания, наблюдаемые при последовательном определении чистого баланса глюкозы в изолированной перфу-зируемой печени собаки, только ошибками измерений. Оценивалась дисперсия ошибок нелинейной функции
NHGB = FllVCHv + FPVCllA — fpyCpv — FmCHA.
Здесь NHGB (Net Hepatic Glucose Balance) — чистый баланс глюкозы, -Fnv ¦— полный венозный кровоток печени, Fpv — кровоток на входе в портальную вену, CHV,CHA и CpV — концентрация глюкозы в крови в одном выходящем и двух входящих потоках. Потоки измеряются в мл/мин, а концентрации — в мг/мл. Для оценки дисперсии использовались три метода: экспериментальный, аналитический и Монте-Карло.
Моделирование на ЭВМ проводилось следующим образом. Предполагалось, что пять переменных FPv, CPV, CHV, FHv, CHA независимы и нормально распределены с известными средними и дисперсиями. Для каждой полученной на ЭВМ реализации значений этих пяти переменных вычислялся баланс NHGB. Эта процедура повторялась п раз (п = 5, 10, 20, 50, 100, 2000). Для каждых п реализаций NHGB вычислялась дисперсия и 95 %-ный доверительный интервал для дисперсии V (NHGB). Процесс генерации п выборок повторялся N раз (N X п <=± 5000) и оценивалось среднее из N дисперсийа!, s%. Кроме того, вычислялся ожидаемый средний квадрат отклонения (EMS):
