Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
В факторном анализе существует много графических и аналитических методов вращения для получения простой структуры. Превосходный обзор этих методов содержится в работе Нагтап (1967). В аналитических методах для получения простых структур факторных нагрузок минимизируется так называемая целевая функция, зависящая от с1} Для ортогонального вращения обычно используется функция
где 0 < у < і.
При у = 0 вращение, получаемое в результате минимизации функции Є, называется твартимака>. Можно показать, что минимизация в в этом случае эквивалентна максимизации
т т г р
(5.7.22)
ь=\ /=і и=і
т
Р
(5.7.23)
где
т
Р
(5.7.24)
5.7. Факторный анализ
373
Величина, определяемая выражением (5.7.23), есть не что иное, как дисперсия квадратов всех факторных нагрузок. Таким образом, метод «квартимакс» максимизирует дисперсию квадратов факторных нагрузок, т. е. выбираются факторные нагрузки с достаточно большим диапазоном значений. При этом большие значения нагрузок увеличиваются, а маленькие становятся еще меньше, и в результате каждый вектор связывается с возможно меньшим числом исходных переменных.
При у = 1 метод вращения носит названием «варимако>. Этот метод применяется особенно часто. Можно показать, что в этом случае минимизация й эквивалентна максимизации
т р
т 2 2^(5-7-25)
где
_ р
^/ = 7-2^" /=1.....т- (5-7.26)
Выражение (5.7.25) есть сумма дисперсий квадратов факторных нагрузок по каждому столбцу. Таким образом, метод «варимакс» максимизирует разброс квадратов нагрузок для каждого фактора, что приводит к увеличению больших и уменьшению малых значений факторных нагрузок. Но в этом случае простая структура получается для каждого фактора в отдельности, тогда как в методе «квартимакс» простая структура определяется для всех факторов одновременно.
До сих пор рассматривались только ортогональные вращения общих факторов. Существует мнение, что важнее получить простую структуру факторных нагрузок, чем сохранить ортогональность факторов. Поэтому условие некоррелированности факторов ослабляется и ищутся коррелированные факторы Р\я\ с единичными дисперсиями, являющиеся линейными комбинациями факторов Ри Рт. Такой набор факторов не удовлетворяет факторной модели (5.7.6). Процедура получения таких факторов называется косоугольным вращением. Модель, получающаяся в результате вращения, еще может быть представлена уравнениями (5.7.19) с постоянными с^, г = 1, р, } = 1, т., задаваемыми формулой (5.7.21). Поскольку полученные факторы могут быть коррелированными, имеется более широкая область изменения постоянных гдк}, к, / = 1, т, и в свою очередь
бОЛЬШИЙ Выбор Сц.
374
Гл. 5. Методы многомерного статистического анализа
Аналитические методы определения простых факторных нагрузок с помощью вращений, минимизирующих функцию G (см. (5.7.22)), называются прямыми методами «облимин» (подробности см. Jennrich, Sampson (1966)). В работе Harman (1967, с. 336) предлагается изменять у от —оо до 0. Чем меньше у, тем более коррелированными будут полученные факторы. При 7 = 0 получается прямой метод «квартимин», представляющий собой косоугольный аналог метода «квартимакс». Однако, поскольку не требуется некоррелированности факторов, этот метод не сводится к максимизации дисперсий квадратов факторных нагрузок
Прямые методы «облимин», однако, не были первыми методами косоугольного метода вращения факторов. Чтобы дать представление о том, как исторически развивались эти методы, введем несколько новых понятий.
1) Пусть /г!/?), Р[т) — результаты вращения факторов, тогда р х т-матрица корреляций между ними и исходными переменными Х1г Хр называется факторной структурой. Следует заметить, что если факторы, полученные в результате вращения, не коррелированы, то факторная структура идентична матрице факторных нагрузок.
2) Каждому фактору Р\Н), I — 1, т, можно поставить в соответствие фактор в; не коррелированный с /г//?\ / = 1, т, } ф I. Величины вх, Ст называются вторичными факторами и говорят, что они биортогональны факторам р\Н), FJ^г) (ТЬиЫопе (1945)). Заметим, что если факторы р\Н), 7^'
не коррелированы, то в, = Р\^\ I = 1, т.
3) Матрица размера р X т, у которой элементом Уц служит коэффициент корреляции между исходной переменной Х; и вторичным фактором в;, ? = 1, р, / = 1, т, называется структурой вторичных факторов (или просто вторичной структурой). Если факторы, полученные в результате вращения, не коррелированы, то вторичная факторная структура совпадает с факторной структурой.
Исторически дело обстояло так, что посредством ортогональных вращений пытались найти простую факторную структуру (иногда называемую простой структурой), тогда как с помощью косоугольных вращений искали простую вторичную структуру. Таким образом, при косоугольных вращениях минимизируется целевая функция
(5.7.23).
(5.7.27)
5.7. Факторный анализ
375
где v,j =-¦ corr (Х[, Gj) меняется от 0 до 1. Аналитические методы, в которых ищется простая вторичная структура, называются (непрямыми) методами «облимин-». Такие методы могут быть связаны с прямыми методами «облимин-» равенствами vij = djCfj, где dj постоянные, i — 1, р, j = 1, т.
