Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
ПРИМЕРЫ
6.7. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ И РАСШИРЕНИЕ ТАБЛИЦ
Пример 1. Вычислить Г(6.38) с 8S. Используя рекуррентное соотношение 6.1.16 и табл. 6.1, имеем
Г(6.38) = [(5,38) (4.38) (3.38) (2.38) (1.38)] ДІ.38) -
Пример 2. Вычислить In Г (56.38), используя табл. 6.4 і линейно интерполируя функцию /2. Имеем
In Г(56.38) =
= (56,8-1)
Jn (56.38) - (56.38) + ЛІ56.38).
В рассматриваемой области ошибка липейион интерполяции функции /а меньше, чем IO"7. Следовательно,
/2(56.38) -- 0.92041 67 и In Г(56.38) = 169.85497 42.
Прямая интерполяция в табл. 6.4 функции Ig 1'(") устраняет необходимость пользования логарифмами. Однако линейная интерполяция дает ошибку 0.002, поэтому Ig Г(л) получается с относительной погрешностью IO-8.
Пример 3. Вычислить ф (6.38) с 8S. Используем рекуррентное соотношение 6.3.6 и табл. 6.1:
Ф(б.з8) = -L + -L + J—і--!- +
5.38 4.3? 3.38 2.38
+ — + ф(1.38) = 1.77275 59.
Пример 4. BbiiiiCjmTb ф (56.38). Используя табл. 6.3, имеем Ф (56.38) -= In 56.38 (56.38). В этой таблице ошибка линейной интерполяции функции /з в данной области меньше, чем 8' IQ~7. Следовательно,
/?(56.38) = 0.00889 53 и ф (56.38) = 4.023219.
Пр JfMep 5. Вычислить In Г(1 — і). Из формулы симметрии 6.1.23 и чабл. 6.7 получаем In Г(1 — г) = = InT(TTT) = -0.6509 + 0.3016 і.
Пример 6. Вычислить In Г (— + — г } • Логариф-
12 2 J
мируя рекуррентное соотношєїшс 6.1.15, имеем
In
= - 0.23419 +0.03467 і - Jn +/arctg 1 j =
= 0.11239 - 0.75073г.
Логарифмы комплексных чисел находятся из 4.1-2. Пример 7, Вычислить In Г(3 + Ii), используя формулу удвоения 6.1.18. Логарифмируя формулу 6.1.18, получаем
- — In 2я = - 0.91894,
2 90
6. гамма-функид1я,й родственные ей функции
+ 7ij In 2 - 1.73287 + 4.85203 і, і Г ?-5- + IiJ = -3.31598 + 2.32553 і,
КФ
In Г
-2.66047 + 2.93869 г,
In Г(3 + Ii) = -5.16252 + 10.11625 і.
Пример 8. Вычислить In Г(3 + Ii) с 5D, используя асимптотическую формулу 6.1.41. Имеем
In (3 + И) = 2.03022 15 4- 1.16590 45/.
Следовательно, (2.5 + Ii) In (3 + Ii) = -3.0857779 + 17.1263119/, _(3 + 7і) = -3.0000000 - 7.0000000 і,
In (2л) - 0,9189385,
[12(3 + 7/)3-1 = 0.0043103 - 0.0100575 і, -1360(3 + 7OT1 = 0.0000059 - 0.0000022 і, In Г(3 + 7і) = -5.16252 + 10.11625 1.
6.8. СУММИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ С ПОМОЩЬЮ ПОЛИГАММА-ФУНКЦИЙ
Пример 9. Найти
Бесконечные ряды, общий член которых представляет
собой рациональную функцию индекса, всегда могут быть сведены к конечным рядам от пси- и полигамма-функций. Проиллюстрируем метод преобразования ряіюіз, выписав явно формулу в том случае, когда 'знаменатель содержит трехкратный корень.
Пусть общий член бесконечного ряда имеет вид
„ _ Р(")
di(n) d,(n) d3(n)
di(n) = (и + К]) (n + a2) - (" 4- «ш),
d2(n) = (Я + ?l)3 (" + ... (И + ?r)3,
d:i(я) = (л + Yi)3 (и + Y2)3... (и + Yv)3,
р(п) — многочлен степени, не большей т + Ir + Зу — 2 Константы щ, и Yi различны между собой. Разложение иа па элементарные дроби имеет следующий вид:
' It, -T-
- 4- -
O <« + %) fci' (п + Pi) (л + Pt)"
^ V-V _cH-__I____cY.':__: ___
A J (« +Yt) (11 +Y*)2 (л +Yj)3 ' І п + s ъп + і си = 0.
A-I А-з A = I
Теперь можно выразить ? Itn через константы, содержащиеся в полученном разложении, а именно:
!««=-? Oj-Ki + ч) -»-і 1-і
- S і>иФ0 + Pj) + І і,,ф'(І + Pj) - /' j-1 j_l
- S C1J1Kl + YJ) + J-I
+ І2, + tj) ~ E (I + j.i j-i 2-
Аналогично получаются разложения в случаях, когда
знаменатель содержит корня бол . с высокой кратности. Если знаменатель содержит простые или двукратные корни, соответствующие строки опускаются.
; (н + 1) (2 н + 1) (4л + 1)
(и + 1) (2м + 1)(4,. + 1)
-1,
1/3
п + 1 п + 1/2 ' п + 1/4
имеем «і =1, ^ 1/2, «з — 1/4, (її = 1/3, ::= -U: = - 2/3. Таким образом.
I=-I ф(2) + ф Jl -I j - I ф ^l I j = 0.04719S.
Пример 10. Найти
1
п'(8п + 1)"
п'(8п + 1)'
16 16 1 1
---1----(.--1--------
п It + 1/8 л* (п + 1/8)2
имеем ?i = 0, ?2 = 1/8, bii йза = 1. Следовательно,
16, Ьц = 16, Ъп = 1,
ї = 16ф(1) - 16 ф ^l -Ij + Ф'О) + Ф' ^J = 0.013499.
Пример 11. Вычислить - У"-Ї-
(и + 1) (пг + 4)
(см. также 6.3.13). Имеем
___ -; f 1___Ч-
(л* + 1) (п- + 4) 6 I и + і л - і )
--L (—!---L_|.
12 In + 21 и — 2і)
Отсюда oi — //6, а3 = — і/6, аз = — i/12, a, = і/12, «і — і, Kg — і, «з — 2г, K1 = — 2і и, следовательно,
S=-J-Ml+ і) - ф(1 - і)] + -L [ф(1 + 2і) - ф(1 - 2і)]. 6 12 Учитывая 6.3.9, приводим это выражение к виду
j = І Im 4(1 + і) - — Im ф(І + 21). З 6
Из табл. 6.8 находим s = 0.13876. Гамма-, дигамма- и тгигамма-функдии
91
Таблица 6.1. Гамма-, дигамма- и трштша-функции
1.000 1.005 1.010 1.015 1.020
1.025 1.030 1.035 1.040 1.045
1.050 1.055 1.060 1.065 1.070
1.075 1.080 1.085 1.090 1.095
1.100 1.105 1.110 1.115 1.120
1.125 1.130 1.135 1.140 1.145
1.150 1.155 1.160 1.165 1.170
1.175 1.180 1.185 1.190 1.195
1.200 1.205 1.210 1.215 1.220
1.225 1.230 1.235 1.240 1.245
