Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Для примера рассмотрим следующую выдержку из табл. 5.1:
x xe*e,(x) * xfce1(x)
7.5 0.89268 7854 8.0 0.89823 7113
7.6 0.89384 6312 8.1 0.89927 7888
7.7 0.89497 9666 8.2 0.90029 7306
7.8 0.89608 8737 8.3 0.90129 6023
7.9 0.89717 4302 8.4 0.90227 4695
m
Числа в квадратных скобках под столбцами означают, что ошибка линейной интерполяции ire превосходит 3-Ю-0 и что ,тля того, чтобы проинтерполировать с полной табличной то шостью, требуется использовать пять табличных значений в формулах Лагранжа или Эйткена.
Допустим, имея таблицу, мы хотим вычислить значение функции XexEl(X) при дг = 7.9527. Для этого применим поочередно линейную интерполяцию, формулы Лагранжа, Эйткена, разностные интерполяционные формулы и ряды Тейлора.
1) Линейная интерполяция. Формула этой процедуры имеет вид
/р-<1 ~P)f» + Pfu
где /,ь fx — значения функции /, соответствующие двум последовательным ближайшим к х табличным значениям аргумента X0 и X1', р определяется формулой
P - (х — *»)/(*! - Xo) и /р — искомое значение функции. В данном случае имеем /о = 0.897І7 4302, /і - 0.89823 7113, р - 0.527.
Для вычисления fv по этой формуле на настольной вычислительной машине поочередно устанавливаются на клавиатуре /о, /і и учлэжиются с накоплением соответственно на 1 — р ар:
/вби- 0 - 0.527)-(0.89717 4302) +
+ 0.527-(0.89823 7113) = 0.89773 4403.
Так как известно, что при линейной интерполяции возможна ошибка, равная 3-10_в, то округляем полученное число до 0.89773. Максимальная возможная ошибка этого результата склатывается из ошибки отбрасывания последних знаков ••• 0.4403- Ю-5 плюс 3- 10_в, т.е. не превосходит 0.8- IO""5.
2) Формула Лагранжа. В данном примере применяется формула Лагранжа по пяти точкам:
/= A-2(p)f-a + А^р) f-г + А0(р)/0 + AlWf1 + A2(p)fz,
где f—f(x) — искомое зпачепис, fic ~ /0?) — табличные значения функции, хц --- -[- kit, к — 0, і I, +2, h— шаг таблиц, Ац(р) — коэффициенты формулы Лагранжа. Таблицы коэффициентов Ак(р) даются в гл. 25 для значений р =0(0.01)1. Полезно иметь в виду, что сумма Аь(р) при А = 0, _!: 1, -±2 и фиксированном р равна единице.
Проведем вычисления по этой формуле для р = 0.52, 0.53 и 0.54. Получим следующие результаты:
* XexElU)
7.952 0.89772 9757 1|V„,
7.953 0.89774 0379 -2
7.954 0.89775 0999 1U0ZU
Числа в третьей и четвертой колонках являются первой и второй разностями значений XexEl(X) (см. ниже). Малость второй разности свидетельствует о точности проведенных интерполяций. Требуемое значение получается теперь линейной интерполяцией:
U =¦ 0.3(0.89772 9757) + 0.7(0.89774 0379) =
= 0.89773 7192.
Если заранее неизвестно, какой степени нужно взять мяо го член Лагранжа, можно сделать предварительную интерполяцию с помощью двух или более м н ого членов различных степеней и сравнить результаты. Совпадающие знаки считаются верными.
3) Итерационный метод Эйткена. В рассматриваемом примере вычисления проводятся по следующей схеме:
n xh л = xt'efc) yen ЛІ.1,« M.i.a.w xn -x
0 8.0 0.89823 7113 0.0473
1 7.9 0.89717 4302 0.89773 44034 -0.0527
2 8.1 0.89927 7888 0.89774 48264 0.89773 71499 0.1473
3 7.8 0.89608 8737 2 90220 2394 0.89773 71938 -0.1527
4 8.2 0.90029 7306 4 98773 1216 16 0.89773 71930 0.2473
5 7.7 0.89497 9666 2 35221 2706 43 30 -0.2527
*) А і I k е п А. С. On interpolation by iteration of proportional parts , without the use of differences. — Proc. Edinburgh Math. Soc., 1932, 3, p. 56-76.
Здесь
Xjt ~~ X0 J у я Xn - ВВЕДЕНИЕ
9
1
Л.1 X1-X
you
Xn — X1 І Уол X* — X I
1 Jo,•••> w-i m Xm ¦
» m-x,* Xji -4
Ля — Xm I уод, Эти выражения легко вычисляются па настольных вычислительных машинах. Обычно в промежуточных вычислениях удерживается запасной десятичный знак, чтобы уменьшить накопление ошибок округления
Оісрсдность ввода табличных значений в вычисления в какой-то мере несущественна Но чтобы получить максимальную скорость сходимости и в то же время минимизировать накопление ошибок округления, нужно, как в данном примере, начинать с табличного аргумента, ближайшего к аргументу искомого значения, зачем брать ближайший из оставшихся табличных аргументов и і д Дополнительная строка обеспечивает контроль точности вычислений.
4) Разностные формулы. Мы будем пользоваться обозначениями центральных разностей (гл. 25)
X0 /о
Xi /і
Xi Л Хз /з Xi fi
Sfi їй Sf%J 2 «Л/.
Sy1 8а/, «У>
&Л/-2 — А — /о, ~ А —/ъ ••¦>
«Уі = »An - 8Zl/> =A- 2/і + Л,
«у»/» = SsA - SaZi - Л - з/, + 3/, - Л,
8% - &/.„- «%„ - Л - 4/, + 6/, - 4Л +/„.
Наж? дазтея относящаяся к данному примеру часть таблицы с разностями. Разности записаны, как припято, в станицах последнего десятичного знака значений функции По малости разностей высокого порядка можно судить также о точности значений функции:
¦X xpxEl(x) 8 а/ «У
7.9 0,89717 4302 -2 2754 -34 8.0 0.89523 7113 -2 2036 -39
Применим, например, интерполяционную формулу Эве-ретта:
Л> = (I - Р)Л + Е3(р) S3Zo + E1(P) SV0 + ... +
+ Pfl + F2(P) 8? + SV1 + ...
