Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Таблица 23.2. Числа Бгрнуллн и числа Эйлера Bli н En, п =* 0,1, 2(2) 60; точные
или 10S ........................................................................................................613
Таблица 23.3. Суммы обратных степеней ........................................614
«»>-??.2 OD; к*. 1
00 r_ nA_I
чм-ЕЧЇ- >20D; i-i *
Mn) = У1 -—--. 20D;
ti W + 1)"
» с_1-.6
PW - V4-J-У— , 18D; f=i (2* +-Dn
n = 1(1)42.
Таблица 23.4. Суммы положительных степеней.............................. 616
m
п= W 1D- m = !?1)100.
Таблица 23.5. х»/л!, X = 2 (1) 9, H = 1(1) 50, 10S.............................. 621
Литература .................................................................... 623
23.1. МНОГОЧЛЕНЫ БЕРНУЛЛИ, МНОГОЧЛЕНЫ ЭЙЛЕРА И ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА —МАКЛОРЕНА
Производящие фуикции
tt>xt JE. tn I Iext >п
23.1.1. _ у) BM- (KK2TU), (UK*). е' — 1 feo I е+1 J=O п-
Числа Бернулли и числа Эйлера
23.1.2. В, = В„(0) (и - 0,1, ...), I ?» = 2*ЕМ2) - Целое (и = 0, ], ...).
23.1.3. Я„ = 1, S1 = —1/2, ^2 = 1/6, B1 = —1/30, I 1, ?,= -1, 3.
Использование Ba и Ea в разложениях тригонометрических функций в степенные ряды см. в гл. 4. 608
23. МНОГОЧЛЕНЫ БЕРНУЛЛИ И ЭЙЛЕРА, ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА
Суммы степеней
23.1.4. Vfc. ,,Wm+ "--gW („,,„=1,2,...), I УУ-1Г-*Г = Ц" + " + НГИ („,„= 1,2,...>.
ет " +1 I ет 2
Производные и разности
23.1.5. s;(x) = nB.-iW (в = 1, 2,...), І ЕЦх) = л?„-і(х) (в = 1. 2,...).
23.1.6. в„(х + 1) - i„(x) = nx"-1 (в = 0,1,...), І й,(х + 1) + ?„(x) = 2x" (в = 0, 1, ...).
Разложения в ряд (и = 0, 1, ...)
,1.7. №+«- у; [") B1(X)h'-к
ft-о Vfc)
?»(*+ а) = Ё ["Ieiwa",
—ШіКГ
Функциональные соотношения (в = 0, 1, ...)
23.1.8. - х) = (-1)" В„(х), І ?»(1 - х) = (-1)" Е„(х).
23.1.9. (- 1)" В„(-х) = В,(х) + та"-1, | (-1 )™Ел(-х) - Е,(х) - 2х".
Формулы для кратного аргумента
1.10. S„(Bix) - т"-1 Y* BJX+ -)
(в = 0, 1, ...; »1=1, 2,...),
Еп(тх) = т" V4 (-1)1 Ea (х + -1
I
(п = 0, 1, ...; т = 1, 3,...).
Е,(тх) =--— т• V (-1)1?+, fx + -)
в + 1 ImJ
(n = 0, 1,...; /в = 2, 4, ...),
Интегралы
3.1.11. =
і Гг) — Bn і !^г) в + 1
23.1.12. ( В,
,(I) Ba(I) dt =(-\)"
mini
om+w
_Е„„(х)-?ы(а)
в + 1
,(/) En(t)d! = (-1)" 4(2»+"+! - 1)
(т + в)!
(пі, в= 1, 2, ...),
Неравенства
23.1.13. I В„ I > I В„(х) I (п - I, г,...; 1 > X > 0), 23.1.
(2 U - :
(и - 1, 2,...1 1/2 > х > 0),
т» 11 / і
23.1.15.
(27Т)'" l.t )
(в - 1, 2,...),
(В1 + в + 2)!
(т, в = 0, 1, ...).
Эти многочлены ортогональны при нечетных т + и.
(и - 1, 2....; 1/2 > х> 0 <2*)я U -21-»; (2тг)а™
4"" I I > (- 1)"й„(х) >0 (в = 1, 2,...; 1/2 > х > 0).
(в - 1, 2,...; 1/2 > X > 0).
4 (2в)
Jfl+— 1 = I 2" - 2]
(п = 0, 1, ...). 13 1 МНОГОЧЛЕНЫ ЙЁРНУЛЛИ И ЭЙЛЕРА
«09
23.1.16. В,(х) - - 2 V4
Wki
Разложения Фурье
и' cos (2пкх — Tznjl)
кя
(п > 1,1 > 0; » « 1, 1 > * > 0),
23.1.17. W,) - tir2<2" - P ""-2^ (2л)»-' A2rt"1
' (л > 1, 1 S і S 0; п *= 1, 1 > X > 0),
(_ ty>-i2(2)i)' " cos 2кпх
(27t)» fo Л»
(л = 1, 2,...; 0«x« 1),
23.1.18. В,.,(х) =
Е(х)~ 4 V4 ''" ((2<: + " ~ х"/2)
^fcS (2*+1)*«
(п > 0, I > х > 0; п » 0, 1 > Л: > 0). (—1)"4(2л - 1)! ^ cos (2? H 1) дх
"" № + 1Г
(л - 1, 2,...; 1 & X > 0). (-1)"4(2л)! ^ sin (2k Ч* 1)та
Ы (»+ D*""
(и > о, 1 г X а 0; п = 0, 1 > X > 0).
E^1(X).
?зп(х) =
Частные значения
23.1.19. Blntl - 0 (л = 1, 2, ...),
23.1.20. Bn(O) = (-1)" А<1),
Bn(O) = Bn (л — 0, I,...),
23.1.21. ад/2) = - (1 - 21-") Bn (л = 0, 1,...),
23.1.22. ад/4) = (-1)" Л«(3/4),
ад/4) - -2-"(1 - 21_я) Bn - 114-?-!
(я =1,2,. .)
23.1.23. Bsn(Ml) т Л„(2/Э),
Я»(1/3) = -2"'(1 - З«") Л„ (л - 0, 1,...)
23.1.24. Вгп( 1/6) - В.»(5/6)
«,„(1/6) = 2 '(1 - 2'-я)(1 - З1"«") Я2»
(n = 0, 1,...)
Символические соотношения
23.1.25. MB(X) + 1) - р(В(х)) = p'(x), I р(Е(х) + 1) + р(ВД) - 2р(х).
23.1.26. fi„(jc + « = (ад + К)" (п - 0, 1, ...), I ?„(* + А) - (EW + Л)" (» = 0, I,...). Здесь р(х)— многочлен относительно X и [?(x)]n = [?(.г)Г — Ея(х).
Е„+і = 0 (и = 0, Г, ...). En(O) = - En(I),
En(O) - - 2(в + I)"1 (2"« - 1) Вщг (л - 1, 2,...). Еп( 1/2) - 2-" Я, (» = 0, 1, ...).
-Ея-іО/З) = -?««(2/3),
?s»-i(!/3) = —(2л)-1 (1 - з™)(2» - 1) Я„ (л = I, 2, ...).
Соотвошевия между многочленамн
JSmW - ^ - 2? ^JJ
(л = !, 2, ..),
23.1.28. En г(х) -
A-O
23.1.29. Sni(X) «= 2-
(и = 0, 1, ...).
Формулы Эйлера — Маклорена
Пусть F(x) имеет 2л непрерывных производных на интервале (а, Ь) Разделим этот интервал на т равных частей, и пусть h = (Ь — а)/т. Тогда для некоторого 0 (1 > 0 > 0), зависящего от F<2n)(;c) на (а, Ь), имеем
23.1.30. У^ F(a + kh) =
h-Q
b
= і ^ F(t) dt + ~{F(b) + F(a)} +
1H
+ Tl --Ba (FVt-1Kb) - +
i1hn »i-l
+ — B.ln P fl!"](a + ЛгА + 64).
P")! ifei 610
23. МНОГОЧЛЕНЫ БЕРНУЛЛИ И ЭЙЛЕРА, ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА
Эквивалентов равенство:
