Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Частные значения для аргументов 0 и я/2 20.8.12.
«Sr [у, ?) - (~])r ge,zr(q) Af (q) j/y' ce'v+t (у, д) qr
se,r (у, =C-1)" go.M Bf(q) q У у '
¦sear+i (у, я) = ?-1У (я) ВГНя) У у я,
Mc1riXO, д) = ]/——^r » r r « ge.,(q)
Mcf (0, q) = -^feAq)!gtAq),
-~(Mcf(z,q)J^0 = У^gM
EMspizt = ^foAq)!SoАя), Msf(z,q)=-g0Aq) У!"
Функции fc,Tl g0,T, fe,r> ge.r протабулированы в [20.581 для q =? 25.
20.9. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Представления, данные ниже, применимы к собственным решениям для действительных значений q. Показатель Флоке V определен ниже, как и в [20.36], следующим образом:
в решениях, соответствующих с7г: V = г; в решениях, соответствующих br: v = —г. Для функций, определенных формулами 20.6.7 —20.6.10, имеем
20.9.1. Mctr3Kz, q) 1
(-1 YMstr3Xz1 q)}~
'4(ch z - ст)1/а jfco [-4і V?(ch Z - a)]m'
Коэффициенты Dm можно получить из следующих рекуррентных соотношений, положив D-i D-2 = 0, Dq = 1:
20.9.2. (m + 1) D7t4-I +
+ ^m + ~ j - + j 81 ^q а + 2q - aj Dm +
+ (m ^ "2) 6ff^1 _ e^ ~ 8'am^ ^m"1 +
+ Aq (2т - 3) (2т - 1) (1 - в®) Dm-9 = 0. 550
20. функции матье
20.9.3. Mc1riXz, q) 1
(-1У Ms^M j
Ch г - vit/2 _ n/4) '
T^y4 (ch г - о)1'2 ^o [4i V?(ch z - a)\m
Коэффициенты dm можно получлть из следующих рекуррентных соотношений, положив d-i — a-2 ~ Oj d0 = 1:
20.9.4. (т + 1) +
+ ^m + J* + jm + ij 8( 4~qa + 2q - aj dm -f
+ ^m - IJ [169(1 -0^ + 81 Jq am] dm^ -f
+ 4<7(2m - 3) (2m - 1) (1 - c®) dm-2 = 0. В последних формулах
— 2тс < arg -Jq ch г < тс, I ch z - о і > I a ± 1 I, Re z > 0, а произвольно. Если с2 = 1, то 20.9.2 и 20.9.4 становятся трехчленными рекуррентными соотношениями.
Формулы 20.9.1 и 20.9.3 справедливы для произвольных а и q при условии, что v известно; они дают функции, кратные функциям 20.4.12, нормированные так, что они стремятся к соответствующим функциям Ханкеля//"' (-Jqez) в H^i-Jq ez) при Z--CO (см. [20.36], раздел 2.63). Формулы рекомендуется использовать, если I ch z I — большое, a q — не слишком большое; так, если <г = — 1, то главная часть абсолютной величины отношения двух последовательных членов разложения есть
If— + -2^r + 2)
IV nt }
(chz+ Ц
Если a, q, z, V действительны, то действительной и мнимой компонентами функции W/ '^'i- //) яр. іікглся Mr'^q) и Mc'f 'iz, іj) соответственно; аналогично для функции Ms*3i(z, q). Если параметры комплексны, то
20.9.5. Mc?\z, q) - - IMcit3Kz, q) + McfHz, ?)1,
2
20.9.6. Mc!?>(z, q) = --L lMci?\z, q) - Mc1;"(z, q)].
2
(См. также 20.6.16.)
Заменяя в этих соотношениях с на s, получим соответствующие соотношения для функций М.'т])(7. if).
Ниже даются формулы, в которые параметр а не входит
Разложеивя Гольдщтейна
20.9.7. Mc'r"(z, q) ~ iMs'fJz, q) »
і» [Fo(z) - (fi(z)] ?"/(711" 5і" (ch z)1»)'
10
20.9.8. ф = 2 Jq sh z — — (2г + 1) arctg sh z
2
(Re z > 0, q 1).
20.9.9. Ft(Z) ~ 1 +
1
8 VJchs z 2048?
W1 + 86^+ 105 Wi + IlW + 571 , 1
ch'г
"ch2 z
163SV"
-(»" + Hw8 + ЗЗцр (Iwt + 124+ 1122iv) ,
ch'z
ch4 z
3v»> + 290w» + 1627w 1
ch6 z
20.9.10. F1(Z) =
w3 + Зи> +
sh z ch2 z
4 ws
L 32V? 512?
5W1 + 34iv8 + 9 ¦
ch!z J 16384j3" (»• - 47w4 + 667 №2 + 2835)
1M-
xh . .
I 12 ch8 z
+ (*1" + SQSw4 + 12139и>2 + 10395) ' 12 ch4 ; где w = 2r + 1.
Более подробное изложение см. в [20.18]; там дается также член q-V2; поправка к нему дана в [20.58].
Разложение 20.9.7 рекомендуется использовать, когда q велико и z не попадает в окрестность нуля. При z — 0 даже порядок величины Мсг(0, q) не может быть получен из этого разложения. Его можно с успехом исиользовать при z = = ix, когда q велико и |cosx[ §>0; оно не годится при X = ті/2. Если q и х действительны, то получим
№(0, ?)2"" х «0)
X { W1IP0M - P1(x)] + WS[P«(x) + P1M]),
20.9.12. ser+1(x, q) ~ q) тг+І X
XfWJP0(x) - P1(x)] - WiP0(x) + P1(X)]).
В последних формулах Р0(х) и P1(x) получаются из F0(z) и F1(Z)B 20.9.9—20.9.10 путем замены ehr на со1.х и shzna sin л:: Р0(х) = F0(ix), P1(x)= -IF1OX); Wb Wi и -с определяются формулами 20.9.13 и 20.9.14.
20.9.11. сс,(х, q) -
20.9.13. W1 = г2^" "R * Jcos ^
20.9.14. --г,і
ї] PI (cos*)'«.
1024?
'і
Разложения, относящиеся к r<?r(0, q) и icj (0, q), даются формулами 20.9.23 —20.9.24. Когда [cos х\ > -Jbr + 2Iqvz, то применяются формулы 20.9.11—20.9.12. Аппроксимации ухудшаются, когда г увеличивается.
Разложения по функциям параболического цилиндра
(Эти разложения рекомендуются для углов, близких к 7і:/2, и для больших значений q, особенно когда | cos х \ < <21/4/<?1/8); см. [20.44-20.461).
20.9.15. сег(х, q) ~ Cr[Z0(a) + Z1(O)].
20.9.16. jrer+i(x, q) —' 5r[Zo(«) — Z1(O)] sin x,
« = 2qu* cos x.
Пусть Du = Dk(a) = (- l)fc ee'/4
dk d%* ' 20.9. асимптотические представления
551
Тогда
20.9.17. Z„(a)~a.+
V2 ['
Dn, ! if г 16 2І.4
H
Dn, (г + 2)Рг+4 | 3 (г
16? L 512 16
+,т(;)Н
20.9.18. Z1W ~
—— Г-- ...
