Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
(b) Использование рядов
Сведение задачи к случаю, когда z лежит в фундаментальном прямоугольнике, может бьпъ, очевидно, автоматизировано. Внутри фундаментального прямоугольника возможно непосредственное использование рядов Лсрана, когда отношение периодов о не слишком велико. Однако, если а > л/3 (Д > 0) или a > 2(Д < 0), ряды будут расходиться в дальнем углу фундаментального прямоугольника, так что результат здесь можно получить лишь с помощью формул удвоения. Иначе, можно вычислять функции по осям Ox и Oy, используя затем формулы сложения. Даже в этом случае ряды будут расходиться при z = /о, если а > 2 (Д > 0), и при z ia'2, если а > 4 (Д < 0).
Для получения большей точности машина должна выполнять операции с кратной точностью. Удвоенная точность при представлении чисел с плавающей запятой использована в программе вычисления 9,9' а ? на машине SWAC.
При вычислении а наиболее простым является использование ряда Маклорена во всех точках фундаментального прямоугольника (ряд сходится для всех г).
Ряды, определяющие ^-функции, сходятся при всех комплексных V так, что вычисление 9, 9', С и о с помощью
Пример 15.
Даны о(г) — 0.4 + 0.1/, g2 = 7, ^3 = 6; найти 2. Используя обращенный ряд 18.5.70, для которого
о = +0.40000 000 + 0.10000 000/,
^L = +0.00011 783 + 0.00032 696/, 5
-^L = -0.00000 208 + 0.00001 432/,
Д <0
3v8e9
—^— - - 0.00000 093 + 0.00000 126/,
1 л '
19Г8Г»О" = _0 00000 013 + 0.00000006/, 55
получим
z = 0.40011 469 + 0.10034 260/.
формул 18.10.5—18.10.8 может быть легко автоматизировано. Ряды для &-функций обладают быстрой сходимостью даже в случае Д<0, где \q\ ^ е~К/2(д < е~п, если Д>0).
Использование конформных отображений
Если вычисление 9, 9\ ? или сг при заданном z сведено к случаю, когда действительный полупериод равен единице, а мнимый — одному из значений, указанных в конформных отображениях 18.8, то визуальное считывание с соответствующих рисунков будет давать 9(z) (?(z) или a(z)) с 2—3S. По формуле 18.6.3 9™ вычисляется через 9 и зваг 9' выбирается соответственным образом (см. конформные отображения 18.8).
Вычисление zt
Даны g2 и Sz (или их эквиваленты). Положив z$3>(z0) = О, из ряда Лорана получим
0 - 1 + е8ыа + C3U8 + C4W4 +
где и — z\. Решаем это уравнение относительно наименьшего по абсолютной величине корня (методом Греффе (квадрирования) или иначе). Если имеет место равенство г0 = о, + іу0 (Д > 0) или Z0 = Oi2 + 1>0 (Д < О)1', то отсюда no Jr0I найдем приближенное значение для г„.
Заметим, что у0!ы является монотонно убывающей функцией от а > 1 (о — отношение периодов) при Д > О и ограничено:
1 > yofo > — Arch V3* (ж 0.7297).
TZ
у0/ые является монотонно возрастающей функцией от а для Д < 0 и ограничено:
0 « yoltoi < — Arch -JT.
ті
Дополнительные данные можно получить из табл. 18.2 и конформных отображений для 9\
1J См. книгу Сикорского [18.33], с. 170 и далее. (Прим. перев.)
31 — под ред. В. А. Дитгшна, Л. Н. Кармазияой 482
>8. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЩВЕЙЕРШТРАССА
Таблица 18.1. Таблица для получения периодов по инвариантам gs H ga (Jgi =¦= Stgf'2) положительный или равен нулю Дискриминант отрицательный или равен нулю
І2
і YZ
3.00 1, ,28254 98 1. 52168 83
3. 05 1, .27944 73 1. 51892 22
зло 1, .27637 43 1.51685 48
3.15 1. .27333 03 1.51505 45
3.20 1, ,27031 49 1.51342 84
3.25 1, ,26732 80 1.51193 18
3.30 1. ,26436 90 1.51053 84
3.3S 1. .26143 77 1. 50923 08
3.40 1. ,25853 ЗС 1. 50799 63
S2 І
3.« 1. .25853 38 1.69503 ЗЭ
3.5 1. 25280 64 1.64719 87
3.6 1, .24718 42 1.60789 93
3.7 1. .24166 45 1.57451 65
Э.8 1. ,23624 47 1.54548 31
3.9 1. .23092 23 1.51978 54
4.0 1. .22569 47 1.49672 94
4.1 1. .22055 95 1. 47581 86
4.2 1. .21551 44 1. 45668 57
4.3 1. 21055 69 1.43905 10
4.4 1. .20568 50 1. 42269 63
4.5 1. .20089 62 1.40744 84
4.6 1. ,19618 36 1. 39316 72
4.7 1. ,19156 00 1.37973 79
4.8 1. .18700 83 1.36706 51
4.9 1. ,18253 18 1.35506 88
5.0 1, .17812 83 1. 34363 10
5.2 1. .16953 35 1.32250 70
5.4 1. ,16120 96 1. 30316 60
5.6 1. .15314 34 1.28537 08
5.8 1, .14532 23 1.26BO9 69
6.0 1. 13 773 46 1. 25356 57
6.2 1. ,13036 91 1. 23923 29
6.4 1. .12321 55 1. 22577 98
b. 6 1. .11626 38 J.21310 78
6.8 1. 10950 49 1. 20113 41
7.0 1. 10293 00 1.18978 83
7.2 1. 09653 11 1.17901 03
7.4 1. 090 30 03 1.16374 32
7.6 I1 .08423 04 1.15895 67
7.8 1. ,07831 46 1.14959 65
8.0 1. , 07254 63 1. 14063 29
8.2 1. 06691 95 1.13203 51
8.4 1. .06142 83 1,12377 59
8.6 1. .05606 74 1.11583 09
8.8 1. 05083 15 1. 10817 84
9.0 1. 0457? 58 1. 10079 87
9.2 1. 04071 56 1, 0'/367 40
9.4 1.03502 65 1. 08678 83
9.6 1. .03104 44 1.08012 69
9.8 .02636 52 1. 07)6/ 66
10.0 1. .02178 54 1,06742 51
0.10 0. 09 0.08 0. 07 0.06
0.05 0.04 O.OJ
0. о? 0.01 0. ОС
1.81701 1.В2207 90 1.82"696 90 1.63165 87 1.83611 17
1.84028 47
1.84412 45 1.84756 35
1. 85П50 78
1. 85230 73
1. 8540/ 47
№
-3) S2-'
Д- 0 .0.00 -0. 01 -0. 02 -0. 03 -0. 04 2. 62205 76 2,6*025 54 2,61693 53 2.61258 87 2.60737 43 2.62205 76 2.62384 96 2. 62710X11 2.63126 10 2,63611 20 -100 - 50 - 33 - 25
