Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
18.15. Псевдолемнискатный случай (ga = —1, gs = 0) ............................................................473
Примеры ..........................................................................................................474
Таблица 18.1. Таблица для получения иериодовпо инвариантам <*2 и ?з (йг =
= Ws) ........................................................................482
Неотрицательный дискриминант (3 ^ < со), 7D. Неположительный дискриминант (— со < g2 ^ 3), 7D. Таблица 18.2, Таблица для получения rJ>, rP' и ? на OX и О У (действительный
полупериод равен единице; отношение периодов равно а) ............483
Положительный дискриминант (0 ^ л: «S 1; Q ^ у ^ а), 6 — 8D.
Отрицательный дискриминант ^O < х sSl; 0 < У ^ j, 7D.
Та б л IUt а 18.3. Инварианты и значения в полупериодах (1 ^ а < со) (действительный полупериод равен единице), 6 — 8D ............................................489
Лвтераіура ........................................................................................................................................493
18.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ, ОГРАНИЧЕНИЯ И УСЛОВИЯ
Эллиптическая фунхция является однозначной двоякопе-риодичсской аналитической функцией комплексной переменной, ецинсгвенными особенностями которой в конечной частя плоскости могут быть только полюсы. Если <0 и ы'—пара (основных) полуяеряодоз такой функции /(г), то f(z f 2 Mw |-2Лгс/)=ДА где M и N - целые числа. Таким образом, изучение любой такой функции можно свести к рассмотрению ее поведения в основном параллелограмме периодов (FPP). Эллиптическая функция имос г конечное число полюсов (и то же самое число нулей) в FPP- Число эшх полюсов (нудей) (неприводимое miio-жгсгво) называется порядком функции (полюсы и ну л а
считаются в соответствии с их кратностью). Все остальные полюсы (нули) называются конгруэнтными неприводимому множеству. Простейшие (нетривиальные) эллиптические функции являются функциями второго порядка. В FPP можно выбрать з качестве стандартной функции второго порядка либо функцию с двумя простыми гюлкк.умн (выбор Якоби). либо функцию с одним двойным полюсом (выбор Вейершграсса).
9-фуищич Всйсрштрасса. Пусть со и о>' означают пару комплексных чисел таких, что 1т(о>7о>) >0, Toj да OKz) -~ 9(z ! (м, <л>') есть эллиптическая функция второго порядка с периодами 2о>, 2о>', имеющая двойной полюс в точке 18 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ
443
г=0, главной частью которой является z~2; 9(z) — г~г — аналитическая функция в окрестности начала координат и стремится к нулю при z, стрсмяшемся к пулю.
Xrфункция Всйерштрасса. 'C(z) | о>, w') удовлетво-
ряет условию ^'(z) — — 9(z); ч(г) имеет простой полюс при z 0, а главная часть ее равна z_1; Xs(Z) — z_1 стремится к пулю при z, стремящемся к нулю, н является аналитической в окрасгности начала координат, Xfz) — не эллиптическая функция, так как она непериодична. Однако она квазипериодична (см. 18.2.19), так что сведение в FPP возможно.
а-фуш-иия Вейерштрасса. <т(г) = a(zIw,w') удовлетворяет условию o'(z)la(z) = ?(z); a(z) — целая функция, которая стремится к пулю в начале координат. Подобно X,, опа не является эллиптической функцией, так как непериодична. Однако она квазипериодична (см. 18.2.20), так что сведение в FPP возможно.
Инварианты g% и gs
Пусть W = 2Мы +2JVw', где M и JV — целые. Тогда
18.1.1. gt - 60S' W-4 и $з = 140S'JT-e
называются инвариантами. Здесь суммирование произво-дится по всевозможным парам M и N, исключая M = = N = 0.
Дополнительные обозначения, подчеркивающие зависимость от инвариантов
18.1.2. 9(z) = 9(z; gu, g3).
18.1.3. 9'(z) = 9'(z; gt, gs).
18.1.4. Xs(Z) = X,(z; g2, g-S).
18.1.5. a(z) = <s(z\ g2, g3).
Основное дифференциальное уравнение, дискриминант и связанные с ним величины
18.1.6. 3>'*(z) = 49\z) ~ - g9.
18.1.7. 9''(z) = M9(z) - <?,) (9(2) - ea) (9(z) - ^3).
18.1.8. A = gl- Vgl = 16(e2 - e3y (e3 - e-yf (ег - ed\
18Л.9. ga = -4(?? + el?8 + еЙег) = 2(e\ + e\ + e|).
18.1.10. ?Я - 4Wa = у (e| + eg+ ф.
18.1.11. ег + ег + е3 = 0.
18.1.12. ei + eg + с% = d/8.
IS. 1.13. 4ef — gtfi — ga = Q {І =U 2, 3).
Ограничения їщ инвиріпшіьі и дискриминант
В зіой главе бу j,yr рассматриваться только действительные g.> и g-,, (этим охватывается большинство приложении), т. е. случай дейсгвиїельного дискриминанта. В дальнейшем будут отдельно рассматриваться случаи Д > О я Д< 0 Соотношения однородности 18.2 1—18.2.15 дают возможность ограничиться неотрицательнымиgz (исключая случай Д — 0).
Обозначения корней из комплексных и комплексно сопряженных чисел
В этой главе, как и в гл. 3, символ Zvn (п — положительное целое) используется для обозначения арифметического корня п-й степепи из z; z обозначает комплексно сопряженное с z число.
Основные параллелограммы периодов FPP. Обозначения
3 2й>'
А>0
J Ri I "з
J R1-TjfPP й>2 Rlf г
2б)г
Q
Zm
Ряс. 18.1.
Прямоугольник
«1 = со,
<оа = со + w', =
Ромб
W3 = w. W — действительно, О)' — ЧИСГО мнимое,
