Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
cosec —cosec 8 4-sec Є + cosec 0 -sec 0 ±cosec6
sec sec 0 =FcosecO -sec e ±cosec 8 +sec 0
Ctg -ctge TtgO і ctg 0 TtgO ictgO
4.3.45. Соотношения между тригонометрическими (или обратными тригонометрическими) функциями (0 < л: ^ тт/2)
=O,,-. tg* =a cosec * = a sec X — a cts X = a
sin X a (1 - aef" 0(1 a-' a-\a' - l)1'» (1 + Hs)-1'8
COS X (1 - Os)1" a (1 + Л-"» a"V - O1" cT1 o(l + aV
tg X <j(l - a2rm O-1O - O1)"» a (,a» - l)-1" (a! - l)1» CT1
cosec X tT! (1 - Oa)-'" a~>(l +a')»* a a(cf - !)-"» (1 + a')1"
sec X (1 - Oa)-"= a-1 (I +a')»' a(a' - l)-1" a + O1)1"
Ctg X <Г>(1 - it')1" o(l - a')"1« Icf - 1 yl* (a" - l)-»2 a
Пример. Если sin X ~ и, то ctg х = а 41 — аа)1/а, агсьес а — aicctg (et2 — 1)_1/а.
4.3.46. Тригонометрические функция некоторых углов
O -iJ2 nl6 "/4
0° 15° 30° 45°
sin O f (Vs-i) 1 2 V5 2
cos 1 ^ Ф + D S 2 V2 2
tg O 2-S V3 3 1
cosec CO ,/2(,/3 + 1) 2 V2
sec 1 V2(V3 - 1) 2^3 3 V2
Ctg CO 2 + S S 1
и/3 5it/12 ir/2 7я/і2
«0° 75° 90е JOS0
sin Vs 2 ^(V3+D 1 ^(V3"+l)
cos 1 2 ^ (V3 - D 4 O -U(V3-D 4
tg 1/З 2 + V3 OO -(2+ V»
"/3 6tt° 5jt/S2 75° я/2 90" 7IT/12 105°
cosec 2V3 3 V2(V3 - 1) 1 V2(V? -1)
sec 2 V2(V3" + D OO - V5(V3 +1)
Ctg V3 3 2 - Vs 0 -(2- V3)
2rc/3 120° Зте/4 135° 5ТГ/6 150а llre/12 165° 180°
sin V5 2 V2 2 1 2 V2 4 (V5 - D 0
COS 1 2 V2 2 _V3 2 V2 4 (V3 +1) -1
tg -Vs -1 _V3 3 - (2 - л/3) 0
cosec 2,/3 2 V2 2 V2(V3 + 1) OO
sec -2 - V2 2V3 3 - V2(V3 - D -1
Ctg _V3 3 -1 -V3 -(2 + V« 00 4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ
Формула Эйлера
4.3.47. ег = ex+iv = ^(cos у -f і sin j).
Формула Муавра
4.3.48. (cos z + і sin z)v = cos vz + і sin V2 -те < Re г ^ те, если V — нецелое).
Связь с гиперболическими функциями (см. 4.5.7 - 4.5.12)
4.3.49. sin z = -і sh iz,
4.3.50. cos z—- ch iz.
4.3.51. tg z= — і th iz.
4.3.52. cosec z =» і cosech iz.
4.3.53. see z = sech iz.
4.3.54. ctg z = і cth і z.
Действительная н мнимая части тригонометрических функции
4.3.55. sin z = sin л ch у + і cos х sh у.
4.3.56. cos z = cos ж ch у — і sin х sh у. sin 2х + і sh 2у cos 2х + ch 2у
sin 2х — і sh 2у ch 2у — cos 2х
4.3.57. tg г =
4.3.58. ctg Z -
Модуль и аргумент тригонометрических функций
4.3.59. |sin z| = (sin2* + sh2>0,/a =
Г1 I1'
і= — (ch 2у — cos 2х)
1.2 J
4.3.60. argsin z = arctg(ctg х th >¦).
4.3.61. I cos Z ] - (cos3 A' 4- ShV)1" -" 1
= — (ch 2у 4- cos
1"
2,)]
4.3.62. argcos z = —arctg(tg л: th _>>),
4.3.63. I tg z I р ( ch ~ c°s 2x V" .
I ch 2у + cos 2x) I
4.3.64. argtg z = arctg ( --I ¦
I sin 2.v I
Разложения в ряд
4.3.65. sin z = z — — 4- —--— + .
3! 51 7!
4.3.66. cos z=l —--1- —
2) 4!
4.3.67. tg г =¦ z + — + —
6! 17z7 315
I (-1)^(2'"-!)?.^.,, (2,.)1
(|z| < со).
(I z I <co). . +
Hi)-
4.3.68. cosec z = — + — 4-----z3 + ... +
.z 6 360
+ i + ... (W<It, (2/і)!
*a 5z4 61 z9
4.3.69. sec z = 1 + - + _ + 211- + ... +
2 24 720
z_ 2z5
3 45 945
(2n)!
- (-ІГ2 гМ
4.3.70. ctg z = -
4.3.71. 1
п(2п)!
4.3.72. In cosz=vs ' - " % ^
S П(2п)!
4.3.73. In a? = V Jbl-Dft-Z Zsl п( 2 л)!
где Bn н En- числа Бернулли и Эйлера соответственно (см. гл. 23).
Пределы
4.3.V4. lim U5JL
*->0 X
4.3.75. Iim
л-->0 X
1.
4.5.76. lim п sin — = х.
»-»со п
4.3.77. Iim п tg - = х.
»->га и
t
4.3.78. lim cos —• — I,
Неравенства і
. ..__sin X 2 f тс те "I
4.3.79. -> —--< х < — •
X те V 2 2 J
4.3.80. sib -x < x ^ tg X jo =s х ^ ^ j •
4.3.81. cos л s; (0 < X < к).
4.3.82. те < 5Ш ** «4 (0 < х < 1).
Xd - х) 4.4. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ ФУНКЦИЙ
41
4.3.83. |sh у\ ^ |sin z| «eh у.
4.3.84. I sh у 1 ?. I cos z 1 ^ dl >.
4.3.85. Icoseczl =S cosech у'.
4.3.86. 1 cos г 1 S ch |z|.
4.3.87. Ismzl « sh |z|.
4.3.88. I cos z I < 2, |sinz| =S-j |z| Qzl < 1),
Бесконечные произведения
4.3.89. sin z =¦ z 1
4.3.90.
Разложения на простые дроби
4.3.91. ctgz - і + IzT*- ' z 4-і
Z2 — IliTLi
(Z ф О, ±71, ±271, ...).
4.3.92. cosec3 z -
4.3.93. cosec z =
(z - W
(Z ф 0, ±71, ±271, ...). (-1)*_ 1 - Wt? (г ф 0, ±тг, ±2ті, ...).
¦+2Z?
4.3.95. tg uz =
Разложения в непрерывную дробь
Q tg z (1 — я=) tg"! (4-а») IgaZ'
Z — — ¦
4.3.94. tg z = — — — -1- 3- 5— 7
(9 - о') tg' z 7 +
1+ 3 +
< Re z < -
("І
5 + агф
iH-
Аппроксимации многочленами (см. [4.1])
4.3.96. — .
2
Jinj* = х + + ^ + ^
X
I е(х)| < 2- 10-*, Oa - -0.16605, O1 - 0.00761.
4.3.97. О «с х S - .
2
— - 1 + о,х! + аУ + а,х" + O8*' + O10X10 + е(лг),
X
It(Jt)I « 2¦ 10-»,
а, = -0.16666 66664, о, - 0.00000 27526, о,- 0.00833 33315, ci10 - -0.00000 00239. о, = -0.00019 84090,
4.3.98. О =S ж < — .
2
cos X = 1 + UaX2 + UiX4 + є(х),
ItWl « 9- юл а2 с -0.49670, о, - 0.03705.
4.3.99. О « х =S — .
2
COS X = I + GsXls + OiX4 + OaXe + O8X8 + OtoA:10 + t(x),
Is(x)I « 2-Ю-", ct2 = -0.49999 99963, о, - 0.00002 47609, O1 - 0.04166 66418, ой = -0.00000 02605. о, = -0.00I3S 88397,
