Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
kei, X ~ V2{8 + /(-8)), 8 = (s - v/2 -1/8) ті.
Для v=0 эти разложения дают і-й нуль каяуюй из функций; для других значений v представленные нули могут быть и не 5-ми.
Равномерные асимптотические разложения при больших значениях порядка
Когда V — большое положительное число, тогда
9.10.37. ber, (vx) + і bei, (vx) ~
... Г.«"»'V-L JiSlU + El) s4rl v« J
9.10.38. ker, (vx) + і kei, (vx) ~
-U^rb+R-VssP-I
9.10.39. ber; (vx) + / bei; (vx) ~ \ 2*v X ( 1 + 5 J l f=i v» J
9.10.40. ker', (vx) + і keil (vx) -
¦ШіттїГЬФ-»^}-
9.10.41. $ = Vl + і*
и x»i(f), даются формулами 9.3.9 и 9.3.13. Все дробные степени принимают свои главные значения. tlmkum МльШйА
2O5
9.11. АППРОКСИМАЦИЯ МНОГОЧЛЕНАМИ
9.11.1. -Ui<8,
ber je — 1 — 640/8)1 + 113.77777 774(х/8)8 -
- 32.36345 6520/8У + 2.64191 3970/8)16 -
- 0.08349 609(х/8)м + 0.00122 552(х/8)24 -
- 0.00000 901О/8)28 + t, IsKl-KT'.
9.11.2. -8 5 X S 8,
bei X = 160/8)3 - 113.77777 7740/8)' +
+ 72.81777 742(х/8)10 - 10.56765 7790/8)14 + + 0.52185 615(х/8)" - 0.01103 667(x/8)sa +
+ 0.00011 3460/8)" + г, I е|< 6- 10"».
9.11.3. «<!<!,
кет X - -In (х/2) ber X + (п/4) bei х - 0.57721 566 -- 59.05819 744(х/8)4 + + 171.36272 ШО/8)8 - 60.60977 451 (х/8)а -I-+ 5.65539 1210/8)" - 0.19636 347(х/8f0 +
+ 0.00309 699(х/8)" - 0.00002 458(х/8)21 + s, I е| < 1- 10"'.
9.11.4. 0 < X < 8,
kei x — — 1п(х/2) bei X — (гr/4) ber X Ч-
+ 6.76454 936(х/8)г - 142.91827 687(х/8)' + + 124.23569 650О78)10 - 21.30060 904О/8)1* + + 1.17509 064(.v/8)ls - 0.02695 875(х/8)и +
-I- 0.00029 5320/8)26 + с, І єI <3-10"'.
9.11.5. -8 < х Є 8,
ber' X = х[-4(х/8)а + 14.22222 2220/8)* -
- 6.06814 810(х/8)10 + 0.66047 849(х/8)" -
- 0.02609 253(х/8)1э + 0.00045 957078Г -
- 0.00000 394(х/8)г*1 + е, I е|< 2. 1- KTs.
9.11.6. —8 ex« 8,
bei' X =¦ х[]/2 - 10.66666 6660/8)* +
+ 11.37777 7720/8)8- 2.31167 514(х/8)м + + 0.14677 2040/8)" - 0.00379 3860/?)1" +
+ 0.00004 609О/8Л + е, I е|< 7- 10"'.
9.11.7. О < X « 8,
ker'x = —In 0/2) ber' X — x-1ber X + (те/4) bei' х + + хї—3.69113 7340/8)8 + 21.42034 017(х/8)8 -
- 11.36433 2720/8)10 + 1.41384 780О/8)" -
- 0.06136 3580/8)18 + 0.00116 UJ(XlS)" -
- 0.00001 0750/8)25] + є, I «1 < 8 ¦ 10-".
9.11.8. О < X < 8,
kei' X = —In (х/2) bei' X — х-1 bei х — 0/4jber' х + + хЮ.21139 217 - 13.39858 846(х/8)4 +
+ 19.41182 758(х/8)» — 4.65950 823(*/8)м +
+ 0.33049 4240/8)" - 0.00926 7070/8)2° +
+ 0.00011 9970/8Г] + с,
I el < 7- 10-'.
9.11.9. 8 s X < ос,
ker X + / kei X - /О) (1 + в,),
^yH-2VJj-9H'
I Si К 1 ¦ 10-'.
9.11.10. !<1<оо,
ber X 4- і bei X — (//it) (ker x + і kei x) = g(x) (1 + єа),
^cxpFtt x +4'
I Єї I < 3 • 10"-',
где
».11.11.
(x) = (0.00000 00 - 0.39269 910 +
+ (0.01104 86 - 0.01104 85i) (8/x) + + (0.00000 00 - 0.00097 650 (8Ixf + + (-0.00009 06 - 0.00009 010 (8/x)3 + + (-0.00002 52 - 0.00000 ООО (8/x)4 + + ('-0.00000 34 + 0.00000 51/j (8/x)" + + (0.00000 06 + 0.00000 190 (8Ix)'.
9.11.12. 8 e x < oo,
ker' X + і kei' X= —f(x) Ф (-x) (1 + E1), I C3I < 2- 10-'.
9.11.13. 8 =S X < со,
ber' X + I bei' X — (іітс) (ker' X-M kei' x) = = яО)Ф(х) (1 + c4), I S4I <3-10-',
где
9.11.14.
Ф(х) = (0.70710 68 + 0.70710 680 +
+ (-0.06250 Ol - 0.00000 OiO (8/x) + + (—0.00138 13 + 0.00138 Ui)(S!xf + + (0,00000 05 + 0.00024 52і) (8Ixf + + (0.00003 46 + 0.00003 38O (8/x)4 + + (0.00001 17 - 0.00000 240 (8/*)' + + (0.00000 16 - 0.00000 320 (8/x)". 206
9. ФУНКЦИИ ЕЕССЕЛЯ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА
ПРИМЕРЫ
Пример 1. Вычислить л(1.55)(л=0,1, 2.....9)c5D.
Рекуррентное соотношение
Jn-i(x) + Jn+i(x) — (2n/x) J«(x)
может быть использовано для послед о BaTeJibH ого вычисления /О0с), Ji(x),Jz(x), ..., если п <х. В противном случае будет иметь место быстрое накопление ошибок округления. Так как, однако, Jn(x)— убывающая функция п, то нри п >х рекуррентный процесс можег быть выполнен в направлении убывания п.
Из табл. 9.2 видно, 1тю значения J11 (1.55) для и >7 меньше Ю-6. Зада ти:м и ля J4 и Ja произвольные значения: Je — 0, Jft = 1 и, исходя ил них, вычислим по рекуррентной формуле соответствующие значения для и =7, 6, ..., 0. Эти числа (upoOHLTe значения) составляют вторую колонку данной ниже таблицы. Oirw округлены до ближайшего целого.
и Пробные значения 1.55) к Пробные эначе ния /„<1.55)
9 0 0.00000 4 4292 0.01331
S 1 0.00000 3 21473 0.06661
7 10 0.00003 2 78829 0.24453
6 89 0.00028 1 181957 0.56442
S 679 0.00211 0 155954 0.48376
Нормируем результаты, используя уравнения 9.1.46, а именно:
J0(X) + 2Ja(x) + 2 J4(x) + ... = 1.
Получаем нормирующий множитель 1/322376 = = 0.00000310197. Умножа.ч пробные значения на этот множитель, иопучим в третьей колонке искомые результаты. Для коніроj ы можно проиитерполировать значение J0(l.55) н табл. 9.1.
Примечания. (I)B этом примере можно было непосредственно из таблиц оценить значение п = N, с которого начинать рекуррентный процесс. Коїда же такой возможности нет, приходится брать прои гаольное значение N. Число верных значащих цифр в окончательных значениях то же самое, что и число знаков в соответствующих пробных значениях. Если выбранное N слишком мало, пробные значения имеют мало знаков it точность полуденных результатов недостаточна. В эгом случае вычисления следует повторить заново, начиная с большего значения N. С другой стороны, если N слишком велико, выполняются ляшиие вычисления. Эго можно до некоторой степеии возмести !Ь от брасыванием последних значащих цифр в пробных значениях. При этом следует оставить столько значащих цифр, сколько их требуется в искомых значениях Jn.
