Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
СОДЕРЖАНИЕ
3.1. Бином и биномиальные коэффициенты; арифметическая и геометрическая про-
грессии, арифметическое, геометрическое, гармоническое и обобщенное среднее . 19
3.2. Неравенства ............................................................................................................................20
3 3. Правила дифференцирования и интегрирования ........................................................21
3.4. Пределы, максимумы и минимумы ...............................................................23
3.5. Абсолютная и относительная ошибки......................................................23
3.6. Бесконечные ряды....................................................................................................24
3.7. Комплексные числа и функции............................................................................................26
3.8. Алгебраические уравнения ................................................................................................27
3.9. Методы приближенного решения уравнений............................................................27
3.10. Теоремы о непрерывных дробях........................................................................................28
Примеры .........................................................................29
Литература ....................................................................................................................................31
3.1. БИНОМ И БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ; АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ; АРИФМЕТИЧЕСКОЕ, ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ, ГАРМОНИЧЕСКОЕ И ОБОБЩЕННОЕ СРЕДНЕЕ
Бином
3.1.1. (« + »• - в" + [ " J 4"-? + [ J ] +
4- I" I 0"-?' + ...
(я — положительное целое).
Биномиальные коэффициенты (см. гл. 24)
я(я - 1) - ¦ (и - k + 1)__
+ Ь"
3.1.2.
CH
к\ (- D1 (
(п-к)\к\
-•СИЛ)
(ТНіИЛ)
к
3.1.6. 1 +
3.1.7.
Таблица биномиальных коэффициентов ^ " j
к
It 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2 1 1 1 г 1
3 1 і 3 1
4 1 4 6 4
5 1 S 10 1С 5 1
6 1 6 15 2С 15 61 1
7 1 7 7.1 4 5 35 21 7 1
S 1 S 78 56 71 56 28 8 1
9 1 9 84 126! 126 84 36 9 1
10 1 10 45 170 210[252|21С 121. 45 10 1
11 1 11 55 165 330 462,462 330 163 5S 11 1
12 1 12 66 220 495J792 924 792 495 220 66 12 1
Более полная таблица приведена в гл. 24. 20
3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Сумма п первых членов арифметической прогрессии
3.1.9. a + (a + d) + (а + 2d) + ... + (а + (я - 1) d) -
= па + - п (л - IJ d = - {a + I), 2 2
где I — последний член: I = а + (и — 1) d.
Сумме и первых членов геометрической прогрессии
3.1.10. Sn — а+аг + or® + ... + or»"1.
e(l - г")
і - г
Iim Su « о/(1 - г) (-1 < г < 1). Арифметическое среднее А
3.1.11. A ,°. + ? + - + ".,
п
Геометрическое среднее (7
3.1.12. (7 = (ai<?2... o»)1/n(ot > 0, к = I5 2,...,и).
Гармоническое среднее H
3.,.u.-L--Lf-L + -L + .. + ±l
Я п I oi я2 а»)
(а* > 0, & « 1, 2, ...,«).
Обобщенное среднее M(I)
3.1.14. М(0= [Ig^f-
3.1.15. M(f) = 0, если 1<0и хотя бы одна из величин at равна нулю.
3.1.16. Hm М(і) — шах (^ll аг, ..., о»} = max o.
3.1.17. Iim МО) = min {«і, а2,ап) = min а.
3.1.19. М( 1) «= А.
3.1.20. AfC-1) = Я
3.2. НЕРАВЕНСТВА
Соотношения между арифметическим, геометрическим, гармоническим и обобщенным средним
3.2.1. А > G > H-, равенство имеет место при
O1 SS аа BS ,„ «в Оя.
3.2.2. min а M(t) < max а.
3.2.3. min а < G < max а.
Неравенства 3.2.2, 3.2.3 переходят в равенства, если все а/с равны или если К 0 и какая-либо из величин % равва нулю.
3.2.4. M(t) < M(s) при t < s, за исключением случаев, когда все ак равны между собой или когда s < 0 и какая-либо из величин ак равна нулю.
Неравенства треугольника
3.2.5. Ie1I - [fei < Ui -f а31 S= Ia1I + |et|.
'Ь MV
Неравенство Чебышева J I J(x) ^dx
Если а\ > а% > а% > ... ^ а«, л
bi 2? b% > Ь3 > ... > Ь„, то 3.2.7. л Д ^bk > акj *tJ •
Неравенство Гёльдера для сумм
+
P Я
Если — -J- — = 1, р > 1, q > 1, то
3.2.8. Js ]в*Ы <(Д ІадІ*]"^! Ifcle)1"-
Равенство имеет место, когда |fc| = с Iofclp*1 (с — положительная постоянная). Приp—q = 2 имеем
Неравенство ICoum
3.2 А Г 2 flAfctT ? ? ig Ь-t J і A-i
(равенство при ак — cfa, с — постоянная).
Неравенство Гёльдера для интегралов
Если — + — = 1, р > 1, q > 1, то P Ч
ь
3.2.10. jj I f(x)g(x)\dx ^
Ъ -|1/
J I *(*)!« At
Равенство имеет место, когда |^(дг) | = с | /(л) Ip-1 (с — положительная постоянная). Если р = q ~ 2, имеем
Неравенство Шварца 6 -12 6 Ь З З ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ
21
IJcpaRCHCTBO Минковского для сумм Если р > J я bi, > О для всех к, то
3.2.1 (^^'^(І.^МІ4)'''-
Равенство имеет место, когда Ьь = сан (с — положительная постоянная).
Неравенство NLihkob ского для интегралов Если р > I, то
3.2.13. IJ ]f{x)+g(x)\* rfvj ^
(b угр ҐЬ \1/Р
