Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
369
Ю?ут.
Ibpyr
иной частотой несущих волн. Эта волна не является солитоном, и при распространёнии на то же расстояние ясно наблюдается эволюция волнового пакета. Последний столбец демонстрирует взаимодействие этих двух волновых пакетов. Несмотря на то что взаимодействие сложно, измеренная форма волны является суперпозицией двух волн, зарегистрированных ранее, т. е. после взаимодействия волны снова восстанавливают свои исходные формы.
Лейк, йен, Рангальдер и Фергюсон (1977) [308] рассмотрели также (4.3.29) при периодических граничных условиях. В этом случае теория предсказывает возвращаемость, которую они наблюдали экспериментально. Они также установили связь между временем возвращения и начальной неустойчивостью (Бенджамина — Фейра) набора стоксовских волн на этой частоте. Йен и Лейк (1980) [518] дали более полное описание этого эксперимента.
Каждое решение уравнения (4.3.29), разумеется, также удовлетворяет (4.3.25), но, как обсуждалось в разд. 3.8, солитоны неустойчивы по отношению к длинноволновым поперечным возмущениям.
Солитоны, показанные на рис. 4.16, 4.17, измерены в сравнительно узких бассейнах, которые исключают дестабилизирующие моды. Следовательно, те же самые эксперименты не могут быть проведены успешно в бассейнах существенно большей ширины. Экспериментальное подтверждение этой неустойчивости можно видеть, сравнивая результаты измерений волн, полученные Хаммаком [195] и приведенные на рис. 4.16 и 4.18. Начальные и прочие условия, при которых выполнялись оба эксперимента, были почти одинаковы, за исключением того, что рис. 4.16 соответствует сравнительно узкому бассейну( шириной 86,4 см), р то время как рис. 4.18 — более широкому (244 см). В частно-
X= 20 фут.
Ч- 'гоч -
Рис. 4.17. Взаимодействие двух движущихся волновых пакетов, Слева: первый единичный импульс, Шо = 1,5 Гц, начальное (Aa)=O1IO1 пакет содержит 6 периодов; в центре: второй единичный импульс, (Do = 3 Гц, начальное (Ao)max= = 0,2, пакет, содержащий 12 периодов, распадается на два солитона; справа: взаимодействие двух волновых пакетов. (Йен, Лейк [517].) 370
4. Приложение
сти, широкий бассейн допускает существование дестабилизирующих поперечных мод, которых нет в узком бассейне. Неустойчивый характер солитона огибающей ясно виден на рис. 4.18.
Подведем итог: уравнения (4.3.25) описывают эволюцию локализованных волновых пакетов осцилляторных волн на воде относительно малой амплитуды для размерности (2+1). При уменьшении размерности до (1 + 1) уравнения могут быть решены точно при помощи МОЗР. Теоретические результаты с при-
h - 150 см h 244 лі
П
! - 49 м
Рис. 4.18. Эволюция волнового пакета в широком бассейне, демонстрирующая поперечную неустойчивость, отсутствующую на рис. 4.16. (Материал любезно предоставлен Дж. Л. Хаммаком.)
емлемой точностью совпадают с экспериментами, проведенными при условиях, также обеспечивающих размерность (1 + 1). Однако ввиду неустойчивости солитонов по отношению к длинноволновым поперечным возмущениям ни теория, ни эксперименты, соответствующие размерности (1 + 1), не могут быть использованы для прогноза эволюции волн размерности (2+1). Теории, пригодной для описания таких волн, в настоящее время не существует.
4.4. Уравнения типа sin-Гордон. Уравнение sin-Гордон для размерности (1 + 1) может быть представлено в виде (4.4.1а) CPjcje-(PH = Sinq)
или в кот,"сных переменных:
(4.4. lb) q)xt=sin<p. 4.4. Уравнения типа sin-Гордон
371
Подобно другим уравнениям, которые мы рассмотрели в этой главе, оно возникает в самых различных областях. Скотт, Чу и Мак-Лафлин [452] перечислили некоторые из них, приведя обширный библиографический список. Будет показано, что в предельном случае бесконечно узкой спектральной линии в задаче о самоиндуцированной прозрачности это уравнение возникает как условие отсутствия секулярных членов при разложении в ряд по теории возмущений. При этом предполагается малость амплитуд. Гиббон, Джеймс, Мороз (1979) [185] показали, что аналогичный анализ бароклинной неустойчивости вращающейся системы двух слоев жидкости также приводит к уравнениям (4.4.1). По-видимому, такой способ вывода уравнений (4.4.1) является типичным. Он соответствует процедуре, рассмотренной в разд. 4.1, 4.2 и 4.3 в том смысле, что эволюционные уравнения возникали как некоторые условия на секулярные члены в разложениях по теории возмущений, возникавшие в более высоком порядке. Однако существуют и другие случаи, такие, как описание псевдосферических поверхностей в дифференциальной геометрии или распространение магнитного вихря в бесконечно длинном джозефсоновском контакте, в которых уравнение sin-Гордон возникает без применения теории возмущении, Примеры, представленные здесь, были выбраны главным образом с целью демонстрации разнообразия явлений, описываемых уравнением sin-Гордон.
4.4. а. Дифференциальная геометрия. Начнем с самого раннего из известных приложений уравнения sin-Гордон. Уравнение (4.4.1) описывает двумерные поверхности с постоянной отрицательной кривизной. В этом случае модель является точной, интересующая нас задача имеет размерность (1 + 1) и не является сужением задачи с большей размерностью. Важная работа Бэклунда о преобразованиях поверхностей (см. разд. 3.1) была посвящена этим приложениям. Приводимое здесь обсуждение проблемы, которое предполагает знакомство читателя с дифференциальной геометрией, является сокращенным вариантом более подробного обсуждения проблемы из работы Эйзенхарта (1909) [148].
