Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
п Зак. 114 322
4. Приложение
синеска (4.1,.22):
(4.1.22) utt = ихх + е \{и\х + Uxxxx] + О (є2).
В пределе е-*-0 (4.1.22) трансформируется в (4.1.12) и (4.1.18).
(ii) В выводе уравнений, приведенном здесь, т представляло собой медленно меняющееся время, и решения КдФ при фиксированном т соответствуют моментальному снимку волны на воде. В свете (4.1.16) х* и t* являются в некоторой степени взаимозаменяемыми, и вместо т можно ввести в рассмотрение медленно меняющуюся пространственную переменную По-прежнему остается два уравнения КдФ, но теперь решение КдФ при фиксированном X будет соответствовать движению поверхности воды при прохождении волны над измерительным зондом, установленным в определенном месте. Таким способом выполнено большинство волновых измерений.
(iii) Этот вывод является формальным и фактически не доказывает того, что решения КдФ являются асимптотическими по отношению к (4.1.5—7). Такого доказательства в нашем распоряжении нет. В действительности лишь недавно было доказано, что (4.1.5—7) допускают существование волн с углом наклона поверхности воды вплоть до я/6, т. е. вплоть до предельного случая Стокса (Амик и Толанд (1979) [40]).
(iv) Жидкость считается невязкой, и модель не допускает никакой диссипации. Но вода имеет конечную вязкость, и можно оценить характерное время диссипации на основе ламинарного или турбулентного погранслоев [275]. Для применимости модели КдФ необходимо, чтобы характерное время диссипации намного превышало характерный временной масштаб КдФ (т = O(I)).
(v) Исходные уравнения движения (4.1.5—7) инвариантны относительно преобразований Галилея. Из (4.1.15Ь) следует, что уравнения КдФ сохраняют эту инвариантность, если / (или g) интерпретировать как горизонтальную скорость. Поэтому преобразование
т —> т, r->r — ст, f->f + с
не изменяет (4.1.18а).
(vi) Рассмотренный вывод уравнения КдФ наводит на мысль, что его можно получить лишь при отсутствии вихрей. Но, как показал Бенни [55], это неверно: см. также [52].
(vii) Динамическое условие на свободной поверхности (4.1.7b) означает, что давление на ней равно нулю. Для большинства случаев волн на воде это выполняется лишь приблизительно. Более точным является утверждение, что давление должно совпадать с давлением воздуха на этой поверхности, т. е. поверхностные волны фактически являются внутренними волна- 4.1. КдФ и родственные уравнения
323
ми. Ввиду того что отношение плотности воздуха к плотности воды рално приблизительно Ю-3, этим тонким различием обычно пренебрегают. Однако для длинных волн (kh <С Ю-3) этим эффектом пренебрегать нельзя, поэтому в качестве соответствующей модели следовало бы выбрать уравнение (4.1.3), а не (4.1.1). Аналогичные соображения применяются при исследовании вращения Земли и формы ее поверхности.
Уравнение КдФ было опробовано как модель волн на воде Забужским и Галвином [522], Хаммаком и Сигуром [196, 197], Вейдманом и Максуорси [501]. До сих пор заслуживает внимания также первая экспериментальная работа Рассела (1838, 1845) [437, 438].
Обширная работа в этом направлении, которая сейчас будет обсуждаться, была проделана Хаммаком и Сигуром. Эксперимент осуществлялся в бассейне длиной 31,6 м, глубиной 61 см и шириной 39,4 см. Как схематично изображено на рис. 4.1, волнопродук-тор состоит из прямоугольного поршня, устройства для управления им и стен бассейна. Поршень в экспериментах, которые будут обсуждаться, имел длину 61 см и ширину 39,4 см. Вертикальное движение поршня задавалось для каждого эксперимента индивидуально.
Во время эксперимента в нескольких точках вдоль бассейна были проведены измерения при помощи датчиков с параллельными проволочными сопротивлениями. В первой серии экспериментов (1974 г.) глубина жидкости равнялась 5 см, измерения проводились при x/h = 0, 20, 120 и 400, где х = 0 на краю поршня. Во второй серии (1978 г.) h = 10 см, волны измерялись при xjh = 0, 50, 100 и 200.
На рис. 4.2 изображены волны, генерируемые простым приподниманием поршня. Движение поршня было достаточно быстрым для того, чтобы форма волны при x/h = 0 соответствовала форме поршня (благодаря наличию стенки у левого края поршня длина волны, измеряемая в точке х = 0, равнялась удвоенной длине поршня, а высота — половине его смещения).
На коротких временах, согласно (4.1.15), движение должно осуществляться путем параллельного переноса со скоростью дIgh- Волна, измеренная при x/h = 20 (рис. 4.2,6), приближенно соответствует этому описанию; ее форма в основном та же, что у волны в точке X = 0. (Фронт волны изображен слева.) Из рисунка видно, что между сменяющимися конфигурациями (в движущейся системе отсчета, перемещающейся со скоростью д/gh), нет горизонтального смещения.
. Є1 см_
-i h JL
TГ «
Рис. 4.1. Схема волнопро-дуктора (Хаммак и Сигур [196]).
11* 324
4. Приложение
Солитоны, возникающие на следующем временном масштабе, можно видеть на рис. 4.2, г и в. Решение задачи на собственные значения для оператора Шрёдингера (1.3.33) с измеренной при х = 0 волной в качестве потенциала дает три собственных значения, соответствующие трем солитонам. Это отвечает трем по-
