Методы и объекты сейсмических исследований. Введение в общую сейсмологию - Пузырев Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Считая теперь направление отраженной (восходящей) волны положительным, запишем
P2V2 - P1V1
V2 - Vl + V2Pl
P2V2 +P1V1
bp '
где Ap = р2 - P1. Предполагая ApIp1 достаточно малым и ограничиваясь при разложении в ряд величинами первого порядка, получим
V, — V.
лт = J-L +
V2 +V1
1{V2 + V1)Ii)* грх
Нетрудно показать, что множитель во втором члене, зависящий от U1 и и2, близок к 1, поскольку он представляет собой отношение среднегеометрических и среднеарифметических величин.
При небольшом различии в плотностях можно положить, что ApIp1 = ApIUp1 + р2)/2] или ApIp1 = 2ApZ(P2+P1). С учетом сказанного получим следующее приближенное выражение для А®\ в котором влияние скоростей и плотностей имеет аддитивный характер:
(3.4)
Расчеты показывают, что приведенная приближенная формула для Л(0) справедлива для достаточно широкого диапазона перепада скоростей и плотностей на границе. Например, если отношение разности скоростей к среднему их значению составляет 70 % (сильная граница), а соответствующий относительный перепад по плотностям, согласно приведенной в гл. 2 корреляционной зависимости между и ир, — 22 %, то различие в коэффициентах отражения, рассчитанных по точной и приближенной формулам, равняется 3,5 %. Соответственно при относительных перепадах в скоростях и плотностях 22 и 13 % ошибка расчета по приближенной формуле составляет всего лишь 0,1 %.
В случае наклонного падения волны наиболее простую структуру имеет формула (1.32) для коэффициентов отражения волн SH. Анализ функции ASH(a) нетрудно осуществить путем аналитических расчетов. По мере увеличения а числитель в (1.32) уменьшается быстрее, чем знаменатель, в связи с чем в некотором интервале а от 0 до Ci1 коэффициент отражения уменьшается от А<® до нуля (рис. 3.2). Значение ot1 (угол Брюстера) определяется соотношением
O1 = arctg
Vi - пі
(3.5)
Величина O1 существенно меньше при ns<l, чем при ns>\. Уменьшение коэффициента отражения в интервале а < Ct1 с увеличением угла падения наглядно можно видеть, если формулу (1.32) представить в приближенном виде. Для ns < 1 и r< 1 можно записать
ASH = А®
1 -
(J - 1й)г
tg2a
(3.6)
80 а°
-7 •2
ns(\ - ^n2)
Эта формула справедлива "и для ns> 1, г > 1, если во втором члене изменить порядок вычитания в круглых скобках.
Если ns > 1 (vS2 < usl), то величина ASH остается действительной во всем интервале углов от 0 до 90°. Это означает, что форма отраженного импульса повсюду будет такой же, как падающего. Существенно иная ситуация имеет место при
Рис. 3.2. Зависимость модулей коэффициентов отражения волн SH от угла падения на границу раздела:
/ — 1S < 1; 2 — ns > 1.
46
Глава 3. Классы и типы упругих волн
ns< I (vS2 > Uj1), когда Af1] будет действительным только для углов a S O4,, где = aresin ns. Для больших углов коэффициент отражения становится комплексным, т. е.
rV cos2 а - (sin2 а - n2) 2m2 cos а ¦ VsIn2 а- "
А = SH rV cos2 в +
•і = а — Ы,
(sin2 а - ns) rV-cos2 в + (sin2 а - ns)
где г = V-I. _
Нетрудно убедиться, что для всей закритической области \ASJl\ = Va2 + A2Sl. Для аргумента имеем
_ 2m2 cos а ¦ Vsin2 а — я2 &(Р°~ г2,!4 cos2 ос — (sin2 а - п*)'
Расчеты по приведенной формуле показывают, что в закритической области arg ASH не остается постоянным, изменяясь до 180'. Наиболее быстрое изменение аргумента происходит вблизи критического угла.
Отметим, что интенсивность волны SH определяется только коэффициентом отражения и функцией расхождения, поскольку источник типа У-силы имеет равномерное излучение по всем направлениям, а коэффициент конверсии представляет собой постоянную величину, равную 2. Для горизонтально залегающей границы обратная величина функции расхождения численно равна cosa. В связи с этим при относительно небольших расстояниях от источника, не более глубины залегания границы, величина смещения определяется почти полностью (с точностью до 10 %) коэффициентом отражения.
При наклонном падении на границу раздела плоских волн P либо SV, как уже отмечалось в гл. 1, имеет место явление обмена. Поэтому формулы для коэффициентов отражения представляют собой результат решения четырех линейных уравнений, каждое из которых содержит четыре члена [Саваренский, Кирнос, 1955; Сейсморазведка, 1981]. В связи с этим при анализе функций AfP(a,), AFS(a), Ass(a) и ASF(а) можно использовать только численные методы. Ниже приводятся (рис. 3.3) в качестве примера зависимости всех четырех коэффициентов от угла падения для той же среды, для которой рассчитаны коэффициенты прохождения на рис. 3.1. Коэффициенты отраженных волн PP как для прямого, так и для обратного разреза в пределах углов до 30° практически совпадают и слабо зависят от углов падения. При углах, близких к критическим (п>1), коэффициенты отражения быстро возрастают, стремясь к предельному значению А - 1 в закритической области. В
б
90 а0
Рис. 3.3. Модули коэффициентов отражения монотипных (а) и обменных (б) отраженных волн. Параметры среды те же, что и на рис. 3.1:
/ — п< 1; 2 — п> I; 3, 4 — значения, полученные по приближенным формулам (3.7) при п < 1 для волн, выходящих из источника как P (J) и как S (4).
