Методы и объекты сейсмических исследований. Введение в общую сейсмологию - Пузырев Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
w0 + W1 - W2 или O0 + O1 - O2. (1.25)
Второе граничное условие состоит в равенстве нормальных напряжений ои по обе стороны границы. Используя выражение для аи из (1.8), принимая во внимание, что в данном случае в = уа = dw/dz, и учитывая согласно (1.13), что А + 2ц = pv\, запишем
d(w + W1) Sw1
РІЇї-^г--",«я IT
Производя дифференцирование и принимая во внимание приведенные выше выражения для wQ, wv w2, полагая затем z - 0 и сокращая на F U), получим
PlVl4 (0O - fll) = PlVna2- <1 -26)
Решая (1.25) и (1.26) относительно av и O2, получим после деления на O0 следующие выражения для коэффициентов отражения и прохождения плоских продольных волн при нормальном падении:
A. ж?) - = J3t_ (1.28)
^ = 5(0) = 1Wn = *ni>
% РЄ WfX + f>2VP2 mp+V
где г = P1Zp2; nf = VnIvn.
Нетрудно убедиться, что имеет место соотношение
В„ = 1 +An. (1.29)
Аналогичное решение легко выполнить для поперечной плоской волны при нормальном падении на границу. Пусть 5-волна поляризована, например, в направлении оси х. Нормальные напряжения в (1.8) будут отсутствовать, а из касательных останется только та. Выражения для смещений и0, U1 и U2 будут аналогичны приведенным выше для wt, если заменить в них vr на vs с соответствующими индексами. Поскольку на границе не должно наблюдаться проскальзываний, то условие (1.25) будет таким же, что и для продольных волн. Так как ц = pv\, то условие равенства касательных напряжений T0 по обе стороны от границы при z-0 приводит к уравнению типа (1.26), в котором vp следует заменить на vy В результате для коэффициентов отражения и прохождения будем иметь
^/'"•Ргн.ЗС' (1.30)
55 Pivsi+ f>zvsi rns + v
2p,v-, 2гп-
3(0) _ " sl = s
SS PlVSl+P2vSl "«S+1'
2p,I),., 2/71-
жо) e ^ д1— = —* (1.31)
где ns = vsl/vs2.
Эти формулы справедливы при любой ориентации движения частиц в плоскости хоу.
21
Часть I. Общие вопросы теории и методики
Величины pv носят название акустических импедансов, для продольных волн чаще всего используют термин „акустическая жесткость".
В случае наклонного падения волны на границу раздела ограничимся решением для поперечной волны SH, поляризованной по направлению оси у. В этом случае в (1.8) конечной будет только компонента деформации у .
Выражение для формы падающей волны можно записать в виде
r,(, , X sin a + г cos а\ vo = aoF\t +-JT-
где а — угол между плоским фронтом падающей волны и осью х.
Производя далее операции, в значительной степени сходные с приведенными выше для нормального падения, и учитывая закон Снеллиуса, получим следующие выражения для коэффициентов отражения и прохождения волны SH:
rnj cos а — Vn2. - sin2 а А.„ ~ г і ж —Tt—', (1.32)
J" ги* cos a + Vn2 - sin2 а
2га2 cos а
Я = —-д ¦ ¦ , (1.33)
" га2 cos a + V л2 - sin2 а
Если перепад скоростей положительный, т. е. Vn > Uj1, то при а > aresin ns коэффициенты отражения и прохождения становятся комплексными, что приводит к изменению формы импульса. При а - О автоматически получим формулы (1.30) и (1.31).
Несколько сложнее решение задач при наклонном падении на границу продольных P- либо поперечных SF-волн. В этих случаях на границе конечными будут как радиальные, так и тангенциальные составляющие напряжений. Это означает, что граница явится как бы источником обоих типов объемных волн. Иначе говоря, кроме монотипных появятся обменные PS- и АЛ-волны как отраженные, так и проходящие. Первые из них будут наблюдаться при падении на границу P-, вторые — SF-волн. В частном случае при падении волны SH на границу обменные волны не образуются (см. рис. 1.9, в).
Таким образом, наклонно падающая на границу плоская волна порождает четыре вторичных волны — две отраженные и две проходящие. В общем случае коэффициенты отражения—прохождения будут зависеть от пяти параметров: пр, г, ух, у2 и а. Примеры поведения коэффициентов отражения и прохождения для монотипных и обменных волн приведены в гл. 3.
Поскольку волны, как правило, регистрируются на поверхности земли, то последняя, являясь идеальным отражателем, трансформирует подходящие к ней сигналы. В простейшем случае подхода волны к свободной границе по вертикали Арр - Ass + 1. Это означает, что отраженная волна любого типа синхронно складывается с приходящей волной с глубины и тем самым удваивает ее амплитуду.
Для волны SH удвоение амплитуды на свободной границе (конверсия) будет справедливо для любых углов падения, так как при ns = г - со в формуле (1.32) ASH - 1.
В случае подхода к поверхности земли волн P и SV под углом а & 0, как следует из вышеизложенного, на границе образуются две отраженные волны — монотипная и обменная. В результате воспринимаемый сигнал будет представлять собой сумму трех синхронно складываемых волн — двух монотипных и одной обменной. При этом для вертикальной и горизонтальной составляющих коэффициенты, естественно, будут различны. Отметим, что при подходе продольной волны коэффициент конверсии К для вертикальной составляющей плавно уменьшается по мере увеличения угла между лучом и нормалью к свободной границе. Для горизонтальной составляющей волн SV функция K(as) имеет относительно сложный вид — в начальной части она возрастает и становится больше двух, а затем быстро убывает до нуля при as - 45° [Сейсморазведка..., 1981 ].
